공통수학1순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

카드 뒤집기 판

문제

앞면은 흰 색, 뒷면은 검은 색으로 된 카드 $9$ 개를 배열하여 [그림 1]과 같은 기준판을 만들었다. , , 버튼을 누르면 해당되는 가로줄 전체의 카드가, , , 버튼을 누르면 해당되는 세로줄 전체의 카드가 뒤집어진다. 예를 들면 [그림2]는 [그림1]의 기준판의 , , 버튼을 차례로 눌렀을 때 바뀌는 모습을 나타낸 것이다. [그림1]의 기준판의 여러 가지 버튼을 눌렀을 때 나타날 수 있는 판의 모양은? [4점]

[그림1]

[그림2]

① ②

③ ④

⑤

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⑤

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해설

[출제의도] 약수와 배수의 성질을 이용하여 추론하기 $n$ 번째 가로줄이 뒤집어진 횟수를 $a _{n}$ , 세로줄이 뒤집어진 횟수를 $b _{n}$ 이라 할 때, 카드의 색깔이 바뀌는 경우는 $a _{n} + b _{n}$ 이 홀수이고, 바뀌지 않는 경우는 $a _{n} + b _{n}$ 이 짝수이다. 카드 4장으로 이루어진 정사각형 모양 부분의 뒤집어진 횟수의 총합은 항상 짝수이다. 이를 만족하는 경우는 ⑤번뿐이다. (별해) 기준판에서 $\mathrm{R} 1$ , $\mathrm{C} 1$ , $\mathrm{C} 3$ 버튼을 순서에 관계없이 홀수 번씩 누르면 ⑤의 모양이 나온다.

태그

#홀짝성 #추론

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