카드 뒤집기 확률

주어진 규칙에 따라 한 번 시행했을 때 나온 주사위의 눈에 따라 뒤집는 카드는 다음과 같다.

$4$번 시행 후 모두 앞면이 보이려면 처음에 뒷면이 보이는 카드는 홀수 번, 앞면이 보이는 카드는 짝수 번 뒤집어야 한다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ $1$번이 적힌 카드는 홀수의 눈이 나올 때, $6$번이 적힌 카드는 짝수의 눈이 나올 때 뒤집히므로 조건을 만족시키려면 $4$번 시행 중 홀수의 눈이 나온 횟수와 짝수의 눈이 나온 횟수의 순서쌍은 $\left( 1 , 3 \right)$ 또는 $\left( 3 , 1 \right)$ (ⅰ) $\left( 1 , 3 \right)$일 때 위 표에서 $2$, $3$이 적힌 카드는 나온 주사위의 눈의 수에 관계 없이 모두 앞면 또는 모두 뒷면이다. 또한 $4$, $5$가 적힌 카드도 마찬가지이므로 (a) 홀수가 $1$의 눈이 나왔을 때 ㉠을 만족시키려면 $\left\{ 6 , 6 , 6 \right\}$ 또는 $\left\{ 6 , 4 , 4 \right\}$ 또는 $\left\{ 6 , 2 , 2 \right\}$ 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{3 !} + \frac{4 !}{2 !} + \frac{4 !}{2 !} = 28$ (b) 홀수가 $3$의 눈이 나왔을 때 $2$, $3$이 적힌 카드는 한 번 뒤집혔으므로 짝수 중 $2$가 한 번 이상 나와야 한다. $2$가 나오면 $4$, $5$가 적힌 카드도 한 번 뒤집히므로 $4$도 한 번 이상 나와야 한다. 따라서 ㉠을 만족시키는 경우는 $\left\{ 2 , 4 , 6 \right\}$ 뿐이므로 구하는 경우의 수는 $4 ! = 24$ (c) 홀수가 $5$의 눈이 나왔을 때 $2$, $3$, $4$, $5$가 적힌 카드 모두 한 번 뒤집혔으므로 ㉠을 만족시키려면 $\left\{ 2 , 2 , 2 \right\}$ 또는 $\left\{ 2 , 4 , 4 \right\}$ 또는 $\left\{ 2 , 6 , 6 \right\}$ 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{3 !} + \frac{4 !}{2 !} + \frac{4 !}{2 !} = 28$ 이상에서 구하는 경우의 수는 $28 + 24 + 28 = 80$ (ⅱ) $\left( 3 , 1 \right)$일 때 주어진 표에서 조건에 따른 결과가 대칭을 이루므로 구하는 경우의 수는 (ⅰ)과 같은 $80$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $80 + 80 = 160$ 전체 경우의 수는 $6 ^{4}$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{160}{6 ^{4}} = \frac{10}{81}$