대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

카드 뒤집기 규칙

문제

한 면은 흰 색, 다른 면은 검은색인 같은 크기의 정사각형 모양의 카드를 다음 규칙에 의해 그림과 같이 놓는다.


	[ $1$ 단계] 검은색 면이 보이도록 카드를 한 개 놓는다. [ $2$ 단계] $1$ 단계에서 놓여진 카드를 흰 색 면이 보이도록 뒤집고 그 카드 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 두 개의 카드를 놓는다. [ $3$ 단계] $2$ 단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 $2$ 단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 세 개의 카드를 놓는다. $\cdots$ [ $n$ 단계] $n - 1$ 단계에서 놓여진 모든 카드의 색이 바뀌도록 뒤집고 $n - 1$ 단계에서 새로 놓은 카드의 위쪽과 오른쪽에 검은색 면이 보이도록 $n$ 개의 카드를 놓는다.

$n$ 단계에서 보이는 면의 색이 검은색인 카드의 개수를 $a _{n}$ 이라 할 때, $a _{n+1} - a _{n} = 15$ 가 되는 모든 $n$ 의 값의 합은? [4점] ① $29$ ② $31$ ③ $49$ ④ $57$ ⑤ $65$

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④

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해설

$\left\{ a _{n} \right\}$ : $1 , 2 , 4 , 6 , 9 , \cdots$ 이므로 $a _{2 k - 1} = k ^{2} , a _{2 k} = k ( k + 1 )$ 이다. $a _{n + 1} - a _{n} = b _{n}$ 이라 하면 $\left\{ b _{n} \right\}$ : $1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , \cdots$ 이므로 $b _{n} = 15$ 인 $n$ 은 $28 , 29$ 이다. $\therefore$ $28 + 29 = 57$

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