카드 차의 기댓값

세 주머니 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$에서 각각 카드를 임의로 한 장씩 꺼내는 모든 경우의 수는 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 세 주머니 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$에서 꺼낸 카드에 적힌 수를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 확률변수 $X$는 꺼낸 세 장의 카드에 적힌 수의 최댓값과 최솟값의 차이므로, $X$가 가질 수 있는 값은 $1$, $4$, $7$이다. (ⅰ) $X = 1$일 때 $a = 4$, $b = 4$, $c = 5$일 때만 최댓값과 최솟값의 차가 $1$이 된다. 이때의 경우의 수는 $1 \times 1 \times 1 = 1$이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 1 \right) = \frac{1}{27}$ (ⅱ) $X = 4$일 때 $a$, $b$, $c$의 최댓값과 최솟값의 차가 $4$가 되는 경우는 다음과 같다. (a) $c = 5$이고 $a$, $b$ 중 적어도 하나가 $1$인 경우 $a$, $b$를 택하는 전체 경우의 수에서 모두 $4$를 택하는 경우의 수를 제외하면 $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8$ $c = 5$인 경우의 수는 $1$이므로 $8 \times 1 = 8$ (b) $c = 8$이고 $a$, $b$가 모두 $4$인 경우 경우의 수는 $1 \times 1 \times 2 = 2$ 따라서 $X = 4$인 경우의 수는 $8 + 2 = 10$이므로 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 4 \right) = \frac{10}{27}$ (ⅲ) $X = 7$일 때 $c = 8$이고 $a$, $b$ 중 적어도 하나가 $1$인 경우 최댓값과 최솟값의 차가 $7$이 된다. $a$, $b$를 택하는 전체 경우의 수에서 모두 $4$를 택하는 경우의 수를 제외하면 $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8$ $c$에서 $8$이 적힌 카드를 택하는 경우의 수는 $2$이므로 경우의 수는 $8 \times 2 = 16$ $\therefore$ $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X = 7 \right) = \frac{16}{27}$ 이상에서 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\therefore$ ${\mathrm{E}} \left( X \right)$$\displaystyle = 1 \times \frac{1}{27} + 4 \times \frac{10}{27} + 7 \times \frac{16}{27}$$\displaystyle = \frac{153}{27}$$\displaystyle = \frac{17}{3}$ $\therefore$ ${\mathrm{E}} \left( 3 X - 1 \right)$$= 3 {\mathrm{E}} \left( X \right) - 1$$\displaystyle = 3 \times \frac{17}{3} - 1$$= 16$