카드 배열 5의 배수

$A + B + C$가 $5$의 배수가 되기 위해서는 정수 $m$에 대하여 $a _{3} + a _{5} + a _{6} = 5 m$이어야 한다. $A - B - C$가 $5$의 배수가 되기 위해서는 정수 $n$에 대하여 $a _{3} - \left( a _{5} + a _{6} \right) = 5 n$이어야 한다. $\left( a _{3} + a _{5} + a _{6} \right) + \left\{ a _{3} - \left( a _{5} + a _{6} \right) \right\} = 5 \left( m + n \right)$ $2 a _{3} = 5 \left( m + n \right)$ $a _{3}$이 $5$의 배수이므로 $a _{3} = 5$ $5 + a _{5} + a _{6} = 5 m$, $5 - \left( a _{5} + a _{6} \right) = 5 n$이므로 $a _{5} + a _{6}$은 $5$ 또는 $10$ 또는 $15$ (ⅰ) $a _{5} + a _{6} = 5$인 경우 순서쌍 $\left( a _{5} , a _{6} \right)$은 $\left( 1 , 4 \right)$, $\left( 2 , 3 \right)$, $\left( 3 , 2 \right)$, $\left( 4 , 1 \right)$의 $4$개 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{4} \right)$의 개수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{P}} \mathit{_{3}} = 60$ 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} , a _{5} , a _{6} \right)$의 개수는 $4 \times 60 = 240$ (ⅱ) $a _{5} + a _{6} = 10$인 경우 순서쌍 $\left( a _{5} , a _{6} \right)$은 $\left( 2 , 8 \right)$, $\left( 3 , 7 \right)$, $\left( 4 , 6 \right)$, $\left( 6 , 4 \right)$, $\left( 7 , 3 \right)$, $\left( 8 , 2 \right)$의 $6$개 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{4} \right)$의 개수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{P}} \mathit{_{3}} = 60$ 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} , a _{5} , a _{6} \right)$의 개수는 $6 \times 60 = 360$ (ⅲ) $a _{5} + a _{6} = 15$인 경우 순서쌍 $\left( a _{5} , a _{6} \right)$은 $\left( 7 , 8 \right)$, $\left( 8 , 7 \right)$의 $2$개 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{4} \right)$의 개수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{P}} \mathit{_{3}} = 60$ 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} , a _{5} , a _{6} \right)$의 개수는 $2 \times 60 = 120$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} , a _{3} , a _{4} , a _{5} , a _{6} \right)$의 개수는 $240 + 360 + 120 = 720$