좌표축에 접하는 구의 반지름

[출제의도] 좌표공간에서 구의 방정식을 구할 수 있는가? 구 $S$의 반지름의 길이를 $r$, 중심의 좌표를 $C ( a , b , c )$라 하자.(단, $a > 0 , b > 0 , c > 0 )$ 구 $S$가 $x$축과 $y$축에 접하는 점을 각각 $A , B$라 하면 $A ( a , 0 , 0 ) , B ( 0 , b , 0 )$이고 $\displaystyle r = \overline{AC} = \overline{BC}$이므로 $r ^{2} = b ^{2} + c ^{2} = a ^{2} + c ^{2}$ $\therefore a = b ( \because a > 0 , b > 0 )$ 따라서 구 $S$의 방정식은 $( x - a ) ^{2} + ( y - a ) ^{2} + ( z - c ) ^{2} = a ^{2} + c ^{2}$ ⋯㉠ 으로 놓을 수 있다. 구 $S$가 $xy$평면과 만나서 생기는 원의 방정식은 $( x - a ) ^{2} + ( y - a ) ^{2} + ( 0 - c ) ^{2} = a ^{2} + c ^{2}$ $( x - a ) ^{2} + ( y - a ) ^{2} = a ^{2}$이고, 원의 넓이가 $64 \pi$이므로 $a ^{2} \pi = 64 \pi , a ^{2} = 64 , a = 8 ( \because a > 0 )$ $a = 8$을 ㉠에 대입하면 구 $S$의 방정식은 $( x - a ) ^{2} + ( y - a ) ^{2} + ( z - c ) ^{2} = 64 + c ^{2}$ ⋯㉡ 구 $S$가 $z$축과 만나는 점의 $z$좌표를 구하기 위해서 ㉡에 $x = 0 , y = 0$을 대입하면 $64 + 64 + ( z - c ) ^{2} = 64 + c ^{2} , ( z - c ) ^{2} = c ^{2} - 64$ $\displaystyle z = c \pm \sqrt{c ^{2} - 64}$ 구 $S$가 $z$축과 만나는 두 점 사이의 거리가 $8$이므로 $\displaystyle ( c + \sqrt{c ^{2} - 64} ) - ( c - \sqrt{c ^{2} - 64} ) = 8 \therefore c ^{2} = 80$ 따라서 구 $S$의 반지름의 길이는 $\displaystyle r = \sqrt{a ^{2} + c ^{2}} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12$