확률과 통계조건부확률수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

주사위 수열 확률 보기

문제

자연수 nn에 대하여 한 개의 주사위를 반복하여 던져서 나오는 눈의 수에 따라 다음과 같은 규칙으로 ana _{n}을 정한다.

(가) a1=0a _{1} = 0이고, ana _{n}(n≥2n \geq 2)는 세 수 −1- 1, 00, 11 중 하나이다. (나) 주사위를 nn번째 던져서 나온 눈의 수가 짝수이면 an+1a _{n + 1}은 ana _{n}이 아닌 두 수 중에서 작은 수이고, 홀수이면 an+1a _{n + 1}은 ana _{n}이 아닌 두 수 중에서 큰 수이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. a2=1a _{2} = 1일 확률은 12\displaystyle \frac{1}{2}이다. ㄴ. a3=1a _{3} = 1일 확률과 a4=0a _{4} = 0일 확률은 서로 같다. ㄷ. a9=0a _{9} = 0일 확률이 pp이면 a11=0a _{11} = 0일 확률은 1−p4\displaystyle \frac{1 - p}{4}이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

그림과 같이 줄을 따라 갈 때 마다 확률이 12\displaystyle \frac{1}{2}이다. ㄱ. a2=1a _{2} = 1인 경우는 0→10 \rightarrow 1한가지 이므로 그 확률은 12\displaystyle \frac{1}{2}이다. ㄴ. a3=1a _{3} = 1인 경우는 0→−1→10 \rightarrow - 1 \rightarrow 1 이므로 확률은 14\displaystyle \frac{1}{4}이다. a3=−1a _{3} = - 1인 경우도 마찬가지로 확률은 14\displaystyle \frac{1}{4}이다. a4=0a _{4} = 0인 경우는 a3=−1a _{3} = - 1또는 a3=1a _{3} = 1에서 온 것이므로 그 확률은 14×12+14×12=14\displaystyle \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}이다. ㄷ. a9=0a _{9} = 0일 확률이 pp이면 a9=1a _{9} = 1, a9=−1a _{9} = - 1일 확률은 각각 1−p2\displaystyle \frac{1 - p}{2}이다. a11=0a _{11} = 0인 경우는 a9→a10→a11a _{9} \rightarrow a _{10} \rightarrow a _{11}에서 0→(−1)→00 \rightarrow ( - 1 ) \rightarrow 0, 0→(1)→00 \rightarrow ( 1 ) \rightarrow 0, 1→(−1)→01 \rightarrow ( - 1 ) \rightarrow 0, (−1)→1→0( - 1 ) \rightarrow 1 \rightarrow 0 이므로 확률은 14p+14p+14×1−p2+14×1−p2\displaystyle \frac{1}{4} p + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4} \times \frac{1 - p}{2} + \frac{1}{4} \times \frac{1 - p}{2}=1+p4\displaystyle = \frac{1 + p}{4} 이다.

태그

#확률의 곱셈정리#점화식#보기

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