주사위 곱 조건부확률

주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수를 $i$라 할 때, $i = 2 ^{a _{i}} \times 3 ^{b _{i}} \times 5 ^{c _{i}}$ ($a _{i}$, $b _{i}$, $c _{i}$는 음이 아닌 정수)로 나타내면 지수의 합 $S \left( i \right) = a _{i} + b _{i} + c _{i}$는 다음과 같다. $S \left( 1 \right) = 0$, $S \left( 2 \right) = 1$, $S \left( 3 \right) = 1$, $S \left( 4 \right) = 2$, $S \left( 5 \right) = 1$, $S \left( 6 \right) = 2$ 주사위를 세 번 던져 나오는 눈의 수를 차례로 $x$, $y$, $z$라 할 때 이 세 수의 곱 $x \times y \times z = 2 ^{a} \times 3 ^{b} \times 5 ^{c}$ 의 지수의 합 $a + b + c$는 각 주사위 눈의 지수의 합을 모두 더한 것과 같다. 즉, $a + b + c = S \left( x \right) + S \left( y \right) + S \left( z \right)$ 이다. 이 시행을 한 번 한 후 $a + b + c$가 홀수인 자연수인 사건을 $A$, $a < b + c$일 사건을 $B$라 하면 구하는 확률은 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( B \left| A \right. \right) = \frac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( A \right)}$ 이때 조건 $a < b + c$의 양변에 $a$를 더하면 $2 a < a + b + c$이므로 $\displaystyle a < \frac{a + b + c}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $S = a + b + c$라 하면 $S$는 홀수인 자연수이고 $0 \leq S \leq 6$이므로 $S \in \left\{ 1 , 3 , 5 \right\}$ 주사위를 던질 때, 지수의 합 $S \left( i \right)$가 $0$, $1$, $2$가 되는 눈의 개수는 각각 다음과 같다. $S \left( i \right) = 0$인 경우($i = 1$) $1$개 $S \left( i \right) = 1$인 경우($i = 2 , 3 , 5$) $3$개 $S \left( i \right) = 2$인 경우($i = 4 , 6$) $2$개 먼저 사건 $A$의 경우의 수 $n \left( A \right)$를 구하면 (ⅰ) $S = 1$인 경우 세 눈의 지수의 합의 조합이 $\left\{ 1 , 0 , 0 \right\}$인 경우이므로 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \left( 3 \times 1 \times 1 \right) = 9$ (ⅱ) $S = 3$인 경우 세 눈의 지수의 합의 조합이 $\left\{ 1 , 1 , 1 \right\}$ 또는 $\left\{ 2 , 1 , 0 \right\}$인 경우이므로 조합이 $\left\{ 1 , 1 , 1 \right\}$인 경우 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 조합이 $\left\{ 2 , 1 , 0 \right\}$인 경우 $3 ! \times \left( 2 \times 3 \times 1 \right) = 36$ 따라서 구하는 경우의 수는 $27 + 36 = 63$ (ⅲ) $S = 5$인 경우 세 눈의 지수의 합의 조합이 $\left\{ 2 , 2 , 1 \right\}$인 경우이므로 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} \times \left( 2 \times 2 \times 3 \right) = 36$ 이상에서 사건 $A$의 경우의 수는 $n \left( A \right) = 9 + 63 + 36 = 108$ 다음으로 사건 $A \cap B$의 경우의 수 $n \left( A \cap B \right)$는 ㉠의 $\displaystyle a < \frac{S}{2}$를 만족하는 경우의 수를 $S$의 값에 따라 분류하여 구한다. (ⅰ) $S = 1$일 때 $\displaystyle a < \frac{1}{2}$에서 $a = 0$이어야 하므로 세 눈 중 하나는 지수의 합이 $1$이고 나머지 둘은 $0$인 경우 중에서 $a = 0$인 경우이므로, 지수의 합이 $1$인 눈은 $2$의 소인수를 갖지 않는 $3$ 또는 $5$여야 한다. 따라서 이 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times 2 \times 1 \times 1 = 6$ (ⅱ) $S = 3$일 때 $\displaystyle a < \frac{3}{2}$에서 $a \leq 1$이어야 하므로 전체 $S = 3$인 경우의 수 $63$가지에서 $a \geq 2$인 경우의 수를 빼야 한다. $a \geq 2$인 경우는 $a = 3$ 또는 $a = 2$이므로 (a) $a = 3$인 경우 $b = 0$, $c = 0$이므로 세 눈은 모두 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$ 중 하나여야 한다. 이때 세 눈의 $2$의 지수의 합이 $3$이 되는 눈의 조합은 $\left\{ 4 , 2 , 1 \right\}$ 또는 $\left\{ 2 , 2 , 2 \right\}$이다. 조합이 $\left\{ 4 , 2 , 1 \right\}$인 경우는 $3 ! = 6$ 조합이 $\left\{ 2 , 2 , 2 \right\}$인 경우는 $1$ 즉, $6 + 1 = 7$가지이다. (b) $a = 2$인 경우 $b + c = 1$이므로 세 눈의 지수의 합의 조합 $\left\{ S \left( x \right) , S \left( y \right) , S \left( z \right) \right\}$에 따라 다음과 같이 분류한다. ⓐ 조합이 $\left\{ 2 , 1 , 0 \right\}$인 경우 지수의 합이 $2$인 눈이 $4 \left( 2 ^{2} \right)$일 때는 남은 두 눈에서 $2$의 소인수가 없어야 하므로, 지수의 합이 $1$인 눈은 $3$ 또는 $5$이고, 지수의 합이 $0$인 눈은 $1$이다. 이 경우의 수는 $3 ! \times \left( 1 \times 2 \times 1 \right) = 12$ 지수의 합이 $2$인 눈이 $6 \left( 2 ^{1} \times 3 ^{1} \right)$일 때는 남은 두 눈에서 $2$의 지수의 합이 $1$이어야 하므로, 지수의 합이 $1$인 눈은 $2$이고, 지수의 합이 $0$인 눈은 $1$이다. 이 경우의 수는 $3 ! \times \left( 1 \times 1 \times 1 \right) = 6$가지 ⓑ 조합이 $\left\{ 1 , 1 , 1 \right\}$인 경우 세 눈에서 $2$의 지수의 합이 $2$이고 $3$ 또는 $5$의 지수의 합이 $1$이어야 하므로, 눈 $2$가 $2$개, 나머지 한 눈은 $3$ 또는 $5$여야 한다. 이 경우의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} \times \left( 1 \times 1 \times 2 \right) = 6$가지 즉, $12 + 6 + 6 = 24$가지이다. 따라서 $S = 3$일 때 $a \leq 1$인 경우의 수는 $63 - \left( 7 + 24 \right) = 32$ (ⅲ) $S = 5$일 때 $\displaystyle a < \frac{5}{2}$에서 $a \leq 2$이어야 하므로 전체 $S = 5$인 경우의 수 $36$가지에서 $a \geq 3$인 경우의 수를 빼야 한다. $a \geq 3$인 경우는 $a = 5$, $a = 4$, $a = 3$이므로 (a) $a = 5$인 경우 $b = 0$, $c = 0$이므로 세 눈은 모두 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$ 중 하나여야 한다. 이때 세 눈의 $2$의 지수의 합이 $5$가 되는 눈의 조합은 $\left\{ 4 , 4 , 2 \right\}$뿐이므로 이 경우의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} = 3$ (b) $a = 4$인 경우 $b + c = 1$이어야 한다. 세 눈의 지수의 합의 조합이 $\left\{ 2 , 2 , 1 \right\}$인 경우 중 다음과 같이 분류한다. ⓐ 지수의 합이 $2$인 두 눈이 모두 $4$일 때 $\left( 2 , 0 , 0 \right)$이 $2$개이므로 남은 한 눈(지수의 합이 $1$)은 $3$ 또는 $5$여야 한다. 이 경우의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} \times \left( 1 \times 1 \times 2 \right) = 6$ ⓑ 지수의 합이 $2$인 두 눈이 $\left\{ 4 , 6 \right\}$일 때 $\left( 2 , 0 , 0 \right)$과 $\left( 1 , 1 , 0 \right)$이므로 남은 한 눈은 $2$여야 한다. 이 경우의 수는 $3 ! \times \left( 1 \times 1 \times 1 \right) = 6$ ⓒ 지수의 합이 $2$인 두 눈이 모두 $6$일 때 $\left( 1 , 1 , 0 \right)$이 $2$개이므로 남은 한 눈에서 $2$의 지수가 $2$여야 하는데 이는 불가능하다. 즉, $6 + 6 = 12$가지이다. (c) $a = 3$인 경우 $b + c = 2$이어야 한다. 세 눈의 지수의 합의 조합이 $\left\{ 2 , 2 , 1 \right\}$인 경우 중 다음과 같이 분류한다. ⓐ 지수의 합이 $2$인 두 눈이 $\left\{ 4 , 6 \right\}$일 때 $\left( 2 , 0 , 0 \right)$과 $\left( 1 , 1 , 0 \right)$이므로 남은 한 눈(지수의 합이 $1$)은 $3$ 또는 $5$여야 한다. 이 경우의 수는 $3 ! \times \left( 1 \times 1 \times 2 \right) = 12$ ⓑ 지수의 합이 $2$인 두 눈이 모두 $6$일 때 $\left( 1 , 1 , 0 \right)$이 $2$개이므로 남은 한 눈은 $2$여야 한다. 이 경우의 수는 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} \times \left( 1 \times 1 \times 1 \right) = 3$ 즉, $12 + 3 = 15$가지이다. 따라서 $S = 5$일 때 $a \leq 2$인 경우의 수는 $36 - \left( 3 + 12 + 15 \right) = 6$ 이상에서 사건 $A \cap B$의 경우의 수는 $n \left( A \cap B \right) = 6 + 32 + 6 = 44$ 이므로 구하는 확률은 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( B \left| A \right. \right) = \frac{n \left( A \cap B \right)}{n \left( A \right)} = \frac{44}{108} = \frac{11}{27}$ 이므로 $p = 27$, $q = 11$ $\therefore$ $p + q = 27 + 11 = 38$