주사위 공 주고받기

[출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 한 번의 시행 결과로 나타나는 경우의 확률은 다음과 같다. ① $\mathrm{A}$가 가진 공의 개수가 $1$개 늘어나는 경우: $\mathrm{A}$가 던진 주사위의 눈의 수가 짝수이고 $\mathrm{B}$가 던진 주사위의 눈의 수가 홀수이므로 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4}$ ② $\mathrm{A}$가 가진 공의 개수의 변화가 없는 경우: $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 던진 주사위의 눈의 수가 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $\mathrm{A}$가 가진 공의 개수가 $1$개 줄어드는 경우: $\mathrm{A}$가 던진 주사위의 눈의 수가 홀수이고 $\mathrm{B}$가 던진 주사위의 눈의 수가 짝수이므로 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4}$ 한편, $4$번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 $6$이 되는 경우는 $4$번째 시행에서 ①이 일어나고 $3$번째 시행에서는 ① 또는 ②가 일어나야 한다. (ⅰ) $3$번째 시행에서 ①이 일어나는 경우 첫 번째, 두 번째 시행에서 ①, ③이 일어나거나 두 시행 모두 ②가 일어나야 하므로 $\displaystyle \left\{ 2 ! \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \right\} \times \frac{1}{4}$ $\displaystyle = \frac{3}{32}$ (ⅱ) $3$번째 시행에서 ②가 일어나는 경우 첫 번째, 두 번째 시행에서 ①, ②가 일어나야 하므로 $\displaystyle \left( {}_{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \right) \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{8}$ 그러므로 구하는 확률은 $\displaystyle \left( \frac{3}{32} + \frac{1}{8} \right) \times \frac{1}{4}$$\displaystyle = \frac{7}{128}$ 따라서 $p = 128$, $q = 7$이므로 $p + q = 135$