미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

주사위 최대 최소 차 급수

문제

주사위 한 개를 nn번 던지는 시행에서 나타나는 눈의 수들 중에서 가장 큰 수를 ana _{n}, 가장 작은 수를 bnb _{n}이라 하자. 예를 들면, 주사위를 한 번 던지는 시행에서 나타나는 눈의 수가 33이면 a1=b1=3a _{1} = b _{1} = 3이고, 주사위를 두 번 던지는 시행에서 나타나는 눈의 수가 4,64 , 6이면 a2=6a _{2} = 6, b2=4b _{2} = 4이다. an−bn<5a _{n} - b _{n} < 5가 될 확률을 pnp _{n}이라 할 때, ∑n=1∞pn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} p _{n}의 값은? [4점] ①77②88③99④1010⑤1111

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②

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해설

an−bn<5a _{n} - b _{n} < 5이므로 결국 nn개의 수 중 11과 66이 동시에 나타나지 않으면 된다. 1을 제외한 나머지 5개의 수로 nn개의 자리를 채우는 사건을 AA, 6을 제외한 나머지 5개의 수로 nn개의 자리를 채우는 사건을 BB라 두면 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=5n+5n−4n=2⋅5n−4n\begin{aligned} n ( A \cup B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A \cap B ) \\ = 5 ^{n} + 5 ^{n} - 4 ^{n} = 2 \cdot 5 ^{n} - 4 ^{n} \end{aligned} 6개의 수로 nn개의 자리를 채우는 경우의 수는 6n6 ^{n}이다. ∴pn=2⋅5n−4n6n\displaystyle \therefore p _{n} = \frac{2 \cdot 5 ^{n} - 4 ^{n}}{6 ^{n}} ∴∑n=1∞pn=1061−56−231−23=10−2=8\displaystyle \therefore \sum\limits _{n=1} ^{\infty} p _{n} = \frac{\frac{10}{6}}{1 - \frac{5}{6}} - \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 10 - 2 = 8

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#여사건#포함배제#등비급수

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