준선이 같은 두 포물선

두 포물선 $C _{1}$, $C _{2}$의 준선을 $l$이라 하자. 점 ${\mathrm{F}}$를 지나고 준선 $l$과 수직인 직선을 $m$이라 하면 직선 $m$은 두 포물선 $C _{1}$, $C _{2}$의 축이고, 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$는 직선 $m$에 대하여 서로 대칭이다. 점 ${\mathrm{A}}$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하자. 포물선 $C _{1}$의 꼭짓점을 ${\mathrm{C}}$라 하고 두 직선 $l$, $m$이 만나는 점을 ${\mathrm{D}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} = {\overline{\mathrm{HA}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = {\overline{\mathrm{CF}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 또한 포물선 $C _{2}$의 초점을 ${\mathrm{E}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EA}}} = {\overline{\mathrm{HA}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DF}}} = {\overline{\mathrm{FE}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 선분 ${\mathrm{AB}}$와 직선 $m$이 만나는 점을 ${\mathrm{G}}$라 하자. 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$가 직선 $m$에 대하여 서로 대칭이므로 선분 ${\mathrm{AB}}$와 직선 $m$이 서로 수직이고 삼각형 ${\mathrm{AFE}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{AE}}}$인 이등변삼각형이므로 점 ${\mathrm{G}}$는 선분 ${\mathrm{EF}}$의 중점이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FG}}} = {\overline{\mathrm{G {E}}}}$이고, ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = {\overline{\mathrm{CF}}} = {\overline{\mathrm{FG}}} = {\overline{\mathrm{G {E}}}}$ 이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{HA}}} = {\overline{\mathrm{DC}}} + {\overline{\mathrm{CF}}} + {\overline{\mathrm{FG}}} = 6$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FG}}} = 2$ 직각삼각형 ${\mathrm{AFG}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = \sqrt{6 ^{2} - 2 ^{2}} = 4 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 8 \sqrt{2}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{AFB}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 8 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$