중선의 수직 보기

[출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 <보기>의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ. 점 $\mathrm{P}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 두 중선의 교점이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : {\overline{\mathrm{PM} \mathit{}}} = 2 : 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : {\overline{\mathrm{AM} \mathit{}}} = 2 : 3$ 따라서 $\displaystyle 3 \mathrm{\overline{AP}} = 2 {\overline{AM}}$ (참) ㄴ. 두 점 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이 각각 두 변 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{AC}$의 중점이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{AB}}} = 3$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{NP}}} = x$라 하자. 점 $\mathrm{P}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : {\overline{NP}} = 2 : 1$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 2 \mathit{x}$ 두 직각삼각형 $\mathrm{BMP}$와 $\mathrm{PMN}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BM}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BP}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{MN}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{NP}}} ^{2}$ 이므로 $4 ^{2} - \left( 2 x \right) ^{2} = 3 ^{2} - x ^{2}$ $16 - 4 x ^{2} = 9 - x ^{2}$ $3 x ^{2} = 7$ $\displaystyle x ^{2} = \frac{7}{3}$ $x$는 양수이므로 $\displaystyle x = \sqrt{\frac{7}{3}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{21}}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BN}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{BP}} + \overline{NP}$$= \mathit{3} x$$\displaystyle = 3 \times \frac{\sqrt{21}}{3}$$\displaystyle = \sqrt{21}$ (참) ㄷ. 직각삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BP}}} ^{2}$$= 6 ^{2} - \left( 2 x \right) ^{2}$ $\displaystyle = 6 ^{2} - \left( \frac{2 \sqrt{21}}{3} \right) ^{2}$$\displaystyle = 36 - \frac{28}{3}$$\displaystyle = \frac{80}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$$\displaystyle = {\sqrt{\frac{80}{3}}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{15}}{3}$ ㄴ에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BN}} = \sqrt{21}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABN}$의 넓이는 $\mathrm{\triangle} ABN$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BN}} \times \overline{AP}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{21} \times \frac{4 \sqrt{15}}{3}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{35}$ 점 $\mathrm{N}$은 선분 $\mathrm{AC}$의 중점이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\mathrm{\triangle} ABC$$\mathrm{=} 2 \times \triangle ABN$$\displaystyle = 4 \sqrt{35}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.