미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

중점 반복 극한점

문제

좌표평면 위에 세 점 A(1,3)\displaystyle \mathrm{A} ( 1 , \sqrt{3} ), B(0,0)\mathrm{B} ( 0 , 0 ), C(2,0)\mathrm{C} ( 2 , 0 )이 있다. 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 P1\mathrm{P} _{1}, 선분 P1C\mathrm{P} _{1} C의 중점을 Q1\mathrm{Q} _{1}, 선분 Q1A\mathrm{Q} _{1} A의 중점을 R1\mathrm{R} _{1}, 선분 R1B\mathrm{R} _{1} B의 중점을 P2\mathrm{P} _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 nn에 대하여 선분 PnC{\mathrm{P}} _{n} \mathrm{C}의 중점을 Qn{\mathrm{Q}} _{n}, 선분 QnA{\mathrm{Q}} _{n} \mathrm{A}의 중점을 Rn{\mathrm{R}} _{n}, 선분 RnB{\mathrm{R}} _{n} \mathrm{B}의 중점을 Pn+1{\mathrm{P}} _{n+1}이라 하자. nn이 한없이 커질 때, 점 Pn{\mathrm{P}} _{n}은 점 (α,β)( \alpha , \beta )에 한없이 가까워진다. 이때 두 상수 α\alpha, β\beta의 합 α+β\alpha + \beta의 값은? [4점]

①3+37\displaystyle \frac{3 + \sqrt{3}}{7}②3+237\displaystyle \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{7}③3+337\displaystyle \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{7}④4+37\displaystyle \frac{4 + \sqrt{3}}{7}⑤4+237\displaystyle \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{7}

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⑤

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해설

Pn(an,bn){\mathrm{P} _{n}} \left( a _{n} , b _{n} \right)이라 두면 Qn(an+22,bn2)\displaystyle {\mathrm{Q} _{n}} \left( \frac{a _{n} + 2}{2} , \frac{b _{n}}{2} \right), Rn(an+22+12,bn2+32)=(an+44,bn+234)\displaystyle {\mathrm{R} _{n}} \left( \frac{\frac{a _{n} + 2}{2} + 1}{2} , \frac{\frac{b _{n}}{2} + \sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{a _{n} + 4}{4} , \frac{b _{n} + 2 \sqrt{3}}{4} \right) Pn+1(an+442,bn+2342)=(an+48,bn+238)\displaystyle \left. \mathrm{P} _{n + 1} \mathit{\left( \frac{\frac{a _{n} + 4}{4}}{2} , \frac{\frac{b _{n} + 2 \sqrt{3}}{4}}{2} \right)} = \left( \frac{a _{n} + 4}{8} , \frac{b _{n} + 2 \sqrt{3}}{8} \right) \right.=(an+1,bn+1)= \left( a _{n + 1} , b _{n + 1} \right) ∴an+1=an+48,bn+1=bn+238\displaystyle \therefore a _{n+1} = \frac{a _{n} + 4}{8} , b _{n+1} = \frac{b _{n} + 2 \sqrt{3}}{8} 이 때, lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞an+1=α,lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞bn+1=β\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty {a _{n} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty {a _{n+1} = \alpha , \lim\limits _{n\rightarrow \infty {b _{n}}} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty {b _{n+1} = \beta}}}}}}이므로 α=α+48→α=47\displaystyle \alpha = \frac{\alpha + 4}{8} \rightarrow \alpha = \frac{4}{7} β=β+238→β=237\displaystyle \beta = \frac{\beta + 2 \sqrt{3}}{8} \rightarrow \beta = \frac{2 \sqrt{3}}{7} ∴α+β=4+237\displaystyle \therefore \alpha + \beta = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{7}

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#점화식#수열의 극한

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