중복조합 순서쌍

조건 (나)를 만족시키는 $( a , b , c , d )$는 $($홀, 홀, 홀, 홀$)$ 또는 $($홀, 짝, 짝, 홀$)$이다. (ⅰ) $( a , b , c , d )$가 $($홀, 홀, 홀, 홀$)$일 때 $7$개의 홀수 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 선택한 후에 작은 수부터 차례로 $a$, $b$, $c$, $d$라 하면 된다. 따라서 구하고자 하는 개수는 $\displaystyle \mathit{_{7}} \mathrm{H} \mathit{_{4}} = \mathit{_{10}} \mathrm{C} \mathit{_{4}} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ (ⅱ) $( a , b , c , d )$가 $($홀, 짝, 짝, 홀$)$일 때 $6$개의 짝수 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 선택한 후에 작은 수부터 차례로 $a - 1$, $b$, $c$, $d + 1$이라 하면 된다. 따라서 구하고자 하는 개수는 $\displaystyle \mathit{_{6}} \mathrm{H} \mathit{_{4}} = \mathit{_{9}} \mathrm{C} \mathit{_{4}} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수는 $210 + 126 = 336$