확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

중복조합 극한 빈칸

문제

자연수 nn에 대하여 등식 x+y+3z=3nx + y + 3 z = 3 n을 만족시키는 자연수 x,y,zx , y , z의 모든 순서쌍 (x,y,z)\left( x , y , z \right)의 개수를 f(n)f ( n )이라 할 때, 다음은 lim⁡n→∞f(n)2n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{f ( n )}{2 n ^{2}}의 값을 구하는 과정이다. 등식 x+y+3z=3nx + y + 3 z = 3 n에서 z=k(1≤k≤n−1)z = k ( 1 \leq k \leq n - 1 )일 때, x+y=3(n−k)x + y = 3 ( n - k ) 이므로 x′=x−1,y′=y−1x' = x - 1 , y' = y - 1이라 하면 x′+y′=□(가)(x′≥0,y′≥0)x' + y' = {\square {( \text{가} )}} ( x' \geq 0 , y' \geq 0 ) 이다. 음이 아닌 정수 x′,y′x' , y'의 모든 순서상 (x′,y′)( x' , y' )의 개수를 구하면 2H□(가)=□(나){} _{2} H _{{\square {( \text{가} )}}} = {\square {( \text{나} )}} 이다. 따라서 자연수 x,y,zx , y , z의 모든 순서쌍 (x,y,z)( x , y , z )의 개수를 구하면 f(n)=∑k=1n−1□(나)\displaystyle f ( n ) = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} {\square {( \text{나} )}} 이다. 그러므로 lim⁡n→∞f(n)2n2=□(다)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{f ( n )}{2 n ^{2}} = {\square {( \text{다} )}}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 A,BA , B, (다)에 알맞은 수를 α\alpha라 할 때, (B−A)×α( B - A ) \times \alpha의 값은? [4점]

①12\displaystyle \frac{1}{2}②34\displaystyle \frac{3}{4}③1④54\displaystyle \frac{5}{4}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

[출제의도] 중복조합의 성질을 이용하여 증명하기 A=3n−3k−2,B=3n−3k−1A = 3 n - 3 k - 2 , B = 3 n - 3 k - 1 α=34\displaystyle \alpha = \frac{3}{4} ∴(B−A)×α=1×34=34\displaystyle \therefore ( B - A ) \times \alpha = 1 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4}

태그

#중복조합#빈칸 추론#수열의 극한

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