중복 문자에서 서로 다른 문자를 뽑을 확률

$a , c , e$는 두 개가 있으므로 뽑은 $6$개의 문자 중에 이들 세 문자가 몇 개가 들어있는가에 따라 나누어 고려하자. 전체 가능한 경우의 수는 ${}_{13} {\mathrm{C}} _{6} = 1716$(가지)이다. 1) 서로 다른 $7$개의 문자에서 $6$개를 선택하는 경우 : ${}_{7} {\mathrm{C}} _{6} = 7$(가지) 2) 서로 다른 $7$개의 문자에서 $5$개를 선택하고 $a , c , e$ 문자 중에 하나를 선택하는 경우 : ${}_{7} {\mathrm{C}} _{5} \times 6$(가지) 여기서 $a , c , e$ 문자 $6$개 중에서 하나를 선택하는 방법은 모두 $6$가지임을 의미한다. 3) 서로 다른 $7$개의 문자에서 $4$개를 선택하고 $a , c , e$중에서 $2$개를 선택하는 경우 : ${}_{7} {\mathrm{C}} _{4} \times 3 \times 4$(가지) 여기서 뒤에 있는 $3$은 $a , c , e$중에서 $2$개의 문자를 선택하는 방법의 수를 의미하며, $4$는 선택된 두 문자에서 선택할 수 있는 방법의 수를 의미한다. 예를 들면, $a , b$가 선택된 경우에 문자 $a$와 $b$는 각각 $2$개씩 있으므로 선택할 수 있는 방법은 $4$가지이다. 4) 서로 다른 $7$개의 문자에서 $3$개를 선택하고 $a , c , e$중에서 $3$개를 선택하는 경우 : ${}_{7} {\mathrm{C}} _{3} \times 8$(가지) $a , b , c$가 모두 한 번씩 선택되는 경우이고 $a$를 선택하는 방법이 $2$가지, $b$와 $c$를 선택하는 방법 또한 $2$가지이므로 선택하는 방법의 수는 $8$가지이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{7 + ( 21 \times 6 ) + ( 35 \times 3 \times 4 ) + ( 35 \times 8 )}{1716} = \frac{833}{1716}$