주머니에 공 나누어 넣기

$10$개의 주머니 중 들어있는 공의 개수가 $0$, $1$, $2$인 주머니의 개수를 $x$, $y$, $z$라 하면 $x + y + z = 10$, $y + 2 z = 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (가)에서 $y = 4$ 또는 $y = 6$이므로 (ⅰ) $y = 4$일 때 ㉠에서 $x = 4$, $z = 2$이고 조건 (나)에 의하여 들어있는 공의 개수가 $2$인 주머니 $2$개의 양옆에는 공이 들어있지 않은 주머니가 있어야 한다. 공이 들어있지 않은 주머니 $4$개를 나열하는 경우의 수는 $1$이고 그 사이사이와 양 끝의 $5$곳 중 $2$곳을 택하여 $2$개의 공이 들어있는 주머니 $2$개를 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{5}} \mathrm{C} _{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 나머지 $3$곳 중 중복을 허락하여 $4$곳을 택하여 공이 $1$개 들어있는 주머니 $4$개를 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{3}} \mathrm{H} _{4} = \mathit{_{6}} \mathrm{C} _{4} = \mathit{_{6}} \mathrm{C} _{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 따라서 구하는 경우의 수는 $1 \times 10 \times 15 = 150$ (ⅱ) $y = 6$일 때 ㉠에서 $x = 3$, $z = 1$이고 조건 (나)에 의하여 들어있는 공의 개수가 $2$인 주머니 $1$개의 양옆에는 공이 들어있지 않은 주머니가 있어야 한다. 공이 들어있지 않은 주머니 $3$개를 나열하는 경우의 수는 $1$이고 그 사이사이와 양 끝의 $4$곳 중 $1$곳을 택하여 $2$개의 공이 들어있는 주머니 $1$개를 나열하는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} \mathrm{C} _{1} = 4$ 나머지 $3$곳 중 중복을 허락하여 $6$곳을 택하여 공이 $1$개 들어있는 주머니 $6$개를 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{3}} \mathrm{H} _{6} = \mathit{_{8}} \mathrm{C} _{6} = \mathit{_{8}} \mathrm{C} _{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 따라서 구하는 경우의 수는 $1 \times 4 \times 28 = 112$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $150 + 112 = 262$