주기함수와 유리함수

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 두 함수의 그래프의 교점의 개수를 추론한다. 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음 그림과 같다.

$\displaystyle \frac{ax}{x + 2} = a - \frac{2 a}{x + 2}$이므로 함수 $\displaystyle y = \frac{ax}{x + 2}$의 점근선의 방정식은 $x = - 2$, $y = a$ $( i )$ $a < 0$일 때

따라서 두 함수 $y = f ( x )$, $\displaystyle y = \frac{ax}{x + 2}$의 그래프의 교점은 유한개이다. $( ii )$ $a > 0$일 때

그림과 같이 두 함수 $y = f ( x )$, $\displaystyle y = \frac{ax}{x + 2}$의 그래프의 교점의 개수가 무수히 많게 되는 $a$의 값의 범위는 $2 \leq a \leq 6$ 따라서 조건을 만족시키는 정수 $a$의 값은 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 으로 그 합은 $20$이다.