미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

주기함수 구분구적

문제

모든 실수 xx에 대하여 함수 f(x)f ( x )는 f(x+2)=f(x)f ( x + 2 ) = f ( x )를 만족시키고, −1≤x≤1- 1 \leq x \leq 1 에서 다음과 같이 정의된다. f(x)=30x2+15f ( x ) = 30 x ^{2} + 15 이 때, lim⁡n→∞1n∑k=1nf(10+2kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 10 + \frac{2 k}{n} \right)}의 값을 구하시오. [3점]

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25

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해설

lim⁡n→∞1n∑k=1nf(10+2kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 10 + \frac{2 k}{n} \right)} =12∫1012f(x)dx=12∫−11f(x)dx\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{10} ^{12} {f ( x ) dx} = \frac{1}{2} \int _{- 1} ^{1} {f ( x ) dx} (∵f(x+2)=f(x))( \because f ( x + 2 ) = f ( x ) ) 12∫−11(30x2+15)dx=∫01(30x2+15)dx=25\displaystyle \frac{1}{2} \int _{- 1} ^{1} {( 30 x ^{2} + 15 ) dx = \int _{0} ^{1} {( 30 x ^{2} + 15 ) dx = 25}}

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