주기함수 보기

ㄱ. $\displaystyle f \left( f \left( \frac{2}{3} \right) \right) = f \left( 1 - \frac{2}{3} \right)$$\displaystyle = f \left( \frac{1}{3} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3}$ $\displaystyle f \left( \frac{2}{3} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \therefore f \left( f \left( \frac{2}{3} \right) \right) = f \left( \frac{2}{3} \right)$ (참) ㄴ. $n \rightarrow \infty$일 때, $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} \rightarrow \frac{1}{2}$이고, $f ( x )$는 연속함수이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} f \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} f \left( \frac{1}{2} \right)$$\displaystyle = f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$ (참) ㄷ. 모든 실수 $x$에 대하여 함수 $f ( x )$는 $f ( x + 1 ) = f ( x )$를 만족시키므로 $f ( x )$는 주기가 $1$인 주기함수이다. (i)$n = 2 k - 1$ ($k = 1 , 2 , 3 , \cdots$)일 때, $\displaystyle f \left( \frac{1}{4} + \frac{2 k - 1}{2} \right) = f \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + k - 1 \right)$ $\displaystyle = f \left( \frac{3}{4} + k - 1 \right)$$\displaystyle = f \left( \frac{3}{4} \right)$ $\displaystyle = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (ii)$n = 2 k$ ($k = 1 , 2 , 3 , \cdots$)일 때, $\displaystyle f \left( \frac{1}{4} + \frac{2 k}{2} \right) = f \left( \frac{1}{4} + k \right)$$\displaystyle = f \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}$ 따라서 수열 $\displaystyle \left\{ f \left( \frac{1}{4} + \frac{n}{2} \right) \right\}$은 $\displaystyle \frac{1}{4}$로 수렴한다. (참) 따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.