미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

주기 수열의 무한급수

문제

무한수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 an={0(n=3k−2)1(n=3k−1)2(n=3k)\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} \begin{aligned} 0 ( n = 3 k - 2 ) \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} 1 ( n = 3 k - 1 ) \\ \end{aligned} \\ 2 ( n = 3 k ) \end{cases}} (단, kk는 자연수) 로 정의할 때, ∑n=1∞an4n\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{4 ^{n}}의 값은? [4점] ①34\displaystyle \frac{3}{4}②221\displaystyle \frac{2}{21}③1332\displaystyle \frac{13}{32}④1754\displaystyle \frac{17}{54}⑤2963\displaystyle \frac{29}{63}

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②

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구하기 ∑n=1∞an4n=04+142+243+044+145+246+⋯\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{4 ^{n}} = \frac{0}{4} + \frac{1}{4 ^{2}} + \frac{2}{4 ^{3}} + \frac{0}{4 ^{4}} + \frac{1}{4 ^{5}} + \frac{2}{4 ^{6}} + \cdots =(142+145+148+⋯ )+(243+246+249+⋯ )\displaystyle = \left( \frac{1}{4 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{5}} + \frac{1}{4 ^{8}} + \cdots \right) + \left( \frac{2}{4 ^{3}} + \frac{2}{4 ^{6}} + \frac{2}{4 ^{9}} + \cdots \right) =1421−143+2431−143=1166364+2646364=221\displaystyle = \frac{\frac{1}{4 ^{2}}}{1 - \frac{1}{4 ^{3}}} + \frac{\frac{2}{4 ^{3}}}{1 - \frac{1}{4 ^{3}}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{63}{64}} + \frac{\frac{2}{64}}{\frac{63}{64}} = \frac{2}{21}

태그

#무한등비급수

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