대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

주기 수열 항 개수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=9,a2=3a _{1} = 9 , a _{2} = 3이고, 모든 자연수 nn에 대하여 an+2=an+1−ana _{n + 2} = a _{n + 1} - a _{n} 을 만족시킨다. ∣ak∣=3\left| a _{k} \right| = 3을 만족시키는 100100 이하의 자연수 kk의 개수를 구하시오. [3점]

정답 보기
33

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열에서 조건을 만족시키는 항의 개수를 구할 수 있는가? a3=a2−a1=−6a _{3} = a _{2} - a _{1} = - 6 a4=a3−a2=−9a _{4} = a _{3} - a _{2} = - 9 a5=a4−a3=−3a _{5} = a _{4} - a _{3} = - 3 a6=a5−a4=6a _{6} = a _{5} - a _{4} = 6 a7=a6−a5=9a _{7} = a _{6} - a _{5} = 9 a8=a7−a6=3a _{8} = a _{7} - a _{6} = 3 … 즉, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 각 항은 9,3,−6,−9,−3,6,⋯9 , 3 , - 6 , - 9 , - 3 , 6 , \cdots이 반복되므로 모든 자연수 nn에 대하여 an=an+6a _{n} = a _{n+6} 이 성립한다. 이때, 9,3,−6,−9,−3,69 , 3 , - 6 , - 9 , - 3 , 6 중에서 ∣ak∣=3| a _{k} | = 3을 만족시키는 항의 개수는 2이고 100=6×16+4100 = 6 \times 16 + 4 이므로 구하는 100이하의 자연수 kk의 개수는 ∴ 16×2+1=3316 \times 2 + 1 = 33

태그

#귀납적 정의#주기 수열

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수학적 귀납법 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로