주기 지수함수 실근 합

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 주어진 방정식의 해의 합을 구한다. (ⅰ) $0 \leq x < 2$일 때 $f ( x ) = 5$에서 $3 ^{x} = 5$ ∴ $x = \log _{3} 5$ (ⅱ) $2 \leq x < 4$일 때 $f ( x ) = 5$에서 $3 ^{- x + 4} = 5$, $- x + 4 = \log _{3} 5$ ∴ $x = 4 - \log _{3} 5$ 함수 $y = f ( x )$는 주기가 $4$인 주기함수이므로 닫힌 구간 $\left[ 0 , 40 \right]$에서 $f ( x ) = 5$인 $x$값들을 차례대로 구하면 다음과 같다. $\log _{3} 5$, $4 - \log _{3} 5$, $4 + \log _{3} 5$, $8 - \log _{3} 5$, $8 + \log _{3} 5$, $12 - \log _{3} 5$, $12 + \log _{3} 5$, … , $40 - \log _{3} 5$

따라서 이들을 모두 더하면 $\left\{ \log _{3} 5 + ( 4 - \log _{3} 5 ) \right\} + \left\{ ( 4 + \log _{3} 5 ) + ( 8 - \log _{3} 5 ) \right\}$ $\left. + \cdots + \left\{ ( 36 + \log _{3} 5 ) + ( 40 - \log _{3} 5 ) \right\} \right.$ $= 4 + 12 + 20 + \cdots + 76$ $\displaystyle = \frac{10 \times ( 4 + 76 )}{2}$ $= 400$