공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조립제법

문제

다음은 사차다항식 $P \left( x \right) = x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$ 를 조립제법을 이용하여 $x - 2$ 로 나눈 몫과 나머지를 구하고, 그 몫을 다시 $x - 2$ 로 나눈 몫과 나머지를 구하는 과정의 일부이다.

$2$	$1$	$a$	$b$	$c$	$d$
		$\square {}$	$\square {}$	$\square {}$	$\square {}$
$2$	$1$	$\square {}$	$\square {}$	$\square {}$	$1$
		$\square {}$	$\square {}$	$\square {}$
	$1$	$2$	$- 8$	$5$

$P \left( 3 \right)$ 의 값은? (단, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 상수이다.) [3점] ① $13$ ② $16$ ③ $19$ ④ $22$ ⑤ $25$

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①

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해설

다항식 $P \left( x \right)$ 를 $x - 2$ 로 나눈 몫을 $Q _{1} \left( x \right)$ 라 하면 나머지가 $1$ 이므로 $P \left( x \right) = \left( x - 2 \right) Q _{1} \left( x \right) + 1$ $\cdots$ $\cdots$ ㉠ $Q _{1} \left( x \right)$ 를 $x - 2$ 로 나눈 몫이 $x ^{2} + 2 x - 8$ 이고 나머지가 $5$ 이므로 $Q _{1} \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + 2 x - 8 \right) + 5$ $\cdots$ $\cdots$ ㉡ 이다. ㉡을 ㉠에 대입하면 $P \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x ^{2} + 2 x - 8 \right) + 5 \left( x - 2 \right) + 1$ 이다. 따라서 $P \left( 3 \right) = \left( 3 - 2 \right) ^{2} \left( 9 + 6 - 8 \right) + 5 + 1 = 13$

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