종이띠 접기

[출제의도] 절대부등식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

위의 그림에서와 같이 종이가 접히는 각 점을 $\mathrm{E} , F , G , H , I$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}} + \overline{\mathrm{GH}} + \overline{\mathrm{IP}} = \overline{\mathrm{QB}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{QE}} + \overline{\mathrm{FG}} + \overline{\mathrm{HI}} = \overline{\mathrm{BP}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QB}} \mathit{=} a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} \mathit{=} b$라 하면 종이띠의 길이가 $40$이므로 $2 ( a + b ) = 40$에서 $a + b = 20$이다. $l ^{2} = a ^{2} + b ^{2} = ( a + b ) ^{2} - 2 ab = 400 - 2 ab$ $\displaystyle 20 = a + b \geq 2 \sqrt{ab}$에서 $ab \leq 100$이므로 $\therefore$$l ^{2}$의 최솟값은 $200$ (다른 풀이) $\displaystyle \mathrm{\overline{QB}} \mathit{=} a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} \mathit{=} b$라 하면 종이띠의 길이가 $40$이므로 $2 ( a + b ) = 40$ $\therefore$$a + b = 20$, $a ^{2} + b ^{2} = l ^{2}$ 실수 $p , q , x , y$에 대하여 부등식 $( p ^{2} + q ^{2} ) ( x ^{2} + y ^{2} ) \geq ( px + qy ) ^{2}$이 절대부등식이므로 $( 1 ^{2} + 1 ^{2} ) ( a ^{2} + b ^{2} ) \geq ( a + b ) ^{2}$ $2 l ^{2} \geq 20 ^{2}$ $\therefore$$l ^{2}$의 최솟값은 $200$