공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

종이접기와 거리

문제

[그림 $1$ ]과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = 8$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 4$ 이고 높이가 $2$ 인 등변사다리꼴 모양의 종이를 접어 모양을 만들려고 한다. 선분 $\mathrm{BC}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하고, 선분 $\mathrm{AD}$ 를 $1 : 3$ 으로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$ , 선분 $\mathrm{AD}$ 를 $3 : 1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{PM}$ 과 선분 $\mathrm{QM}$ 을 접는 선으로 하여 두 점 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 가 선분 $\mathrm{AD}$ 의 중점에 오도록 종이를 접으면 [그림 $2$ ]와 같이 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{D}$ 는 각각 점 $\mathrm{A}'$ , $\mathrm{D}'$ 으로 옮겨진다. 점 $\mathrm{D}'$ 과 직선 $\mathrm{A}' M$ 사이의 거리를 $d$ 라 할 때, $50 d ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, 모든 점은 같은 평면 위에 있고, 종이의 두께는 무시한다.) [4점]

[그림 $1$ ]

[그림 $2$ ]

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640

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해설

[출제의도] 도형의 대칭이동을 이용하여 점과 직선 사이의 거리 문제를 해결한다. 직선 $\mathrm{BC}$ 를 $x$ 축, 점 $\mathrm{M}$ 을 원점으로 하면 $\mathrm{A} ( - 4 , 2 )$ , $\mathrm{B} ( - 2 , 0 )$ , $\mathrm{C} ( 2 , 0 )$ , $\mathrm{D} ( 4 , 2 )$ 이다.

선분 $\mathrm{AD}$ 를 $1 : 3$ 으로 내분하는 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $\mathrm{P} ( - 2 , 2 )$ 선분 $\mathrm{AD}$ 를 $3 : 1$ 로 내분하는 점 $\mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\mathrm{Q} ( 2 , 2 )$ 점 $\mathrm{D}'$ 은 점 $\mathrm{D}$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 $\mathrm{D}'$ 의 좌표는 $\mathrm{D}' ( 2 , 4 )$ 점 $\mathrm{A}'$ 은 점 $\mathrm{D}'$ 과 $y$ 축에 대하여 대칭인 점이므로 점 $\mathrm{A}'$ 의 좌표는 $\mathrm{A}' ( - 2 , 4 )$ 직선 $\mathrm{A}' M$ 의 방정식은 $2 x + y = 0$ 이므로 점 $\mathrm{D}' ( 2 , 4 )$ 와 직선 $2 x + y = 0$ 사이의 거리 $d$ 는 $d$ $\displaystyle = \frac{\left| 2 \times 2 + 4 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{8}{\sqrt{5}}$ 따라서 $50 d ^{2}$ $\displaystyle = 50 \times \frac{64}{5}$ $= 640$

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