공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

종이 접기와 원의 현

문제

가로의 길이가 1616, 세로의 길이가 $$88인 직사각형 모양의 종이가 있다. [그림1]은 네 꼭짓점을 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}라 하고 변 BC\mathrm{BC}, CD\mathrm{CD}, DA\mathrm{DA}와 접하는 원을 그린 것이다.

[그림1] [그림2]와 같이 점 A\mathrm{A}와 C\mathrm{C}가 만나도록 종이를 접었다가 다시 펼쳤을 때 생기는 선이 원과 만나는 점을 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 하자. 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이를 kk라 할 때, 5k25 k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

[그림2]

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64

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해설

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 현의 길이 구하기

16−x16 - x

x2+82=(16−x)2x ^{2} + 8 ^{2} = ( 16 - x ) ^{2}이므로 x=6x = 6 직사각형을 좌표평면 위에 그림과 같이 놓으면

G(4,4)\mathrm{G} ( 4 , 4 ) F(2,8)\mathrm{F} ( 2 , 8 ) E(−2,0)\mathrm{E} ( - 2 , 0 )

직선 EF\mathrm{EF}의 방정식은 y=2x+4y = 2 x + 4이고 GH‾\displaystyle \overline{\mathrm{GH}}는 원의 중심 G\mathrm{G}에서 직선 EF\mathrm{EF}까지의 거리이므로 85\displaystyle \frac{8}{\sqrt{5}}이다. PH‾=42−(85)2=45\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \sqrt{4 ^{2} - {\left( \frac{8}{\sqrt{5}} \right)} ^{2}} = \frac{4}{\sqrt{5}} k=PQ‾=2PH‾=85\displaystyle k = \mathrm{\overline{PQ}} = 2 \overline{PH} = \frac{8}{\sqrt{5}} ∴5k2=64\therefore 5 k ^{2} = 64

태그

#점과 직선 사이 거리#현의 길이

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