종이 접기와 이면각

$\mathrm{B}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면, 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} \perp \overline{EF}$ 두 평면 $\mathrm{AEFD}$와 $\mathrm{EFCB}$가 이루는 각 $\theta$는 두 평면의 교선 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}$에 수직인 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}}$와 $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}}$가 이루는 각의 크기와 같다. $\displaystyle \frac{\cos \theta = \mathrm{\overline{DH}}}{\overline{BH}}$ 이제 종이를 다시 펼치면 그림과 같다.

$\mathrm{\triangle} BDA \propto \triangle BEH$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EB}} : \overline{HB} = \overline{DB} : \overline{AB}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HB}} = \frac{9 \cdot 6}{3 \sqrt{10}} = \frac{18}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}} = \overline{DB} - \overline{BH} = 3 \sqrt{10} - \frac{18}{\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \therefore \frac{\cos \theta = \mathrm{\overline{DH}}}{\overline{BH}} = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \therefore 60 \cos \theta = 60 \times \frac{2}{2} = 40$ [다른 풀이]

$\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 9 - 3 = 6$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \sqrt{6 ^{2} - ( 3 \sqrt{2} ) ^{2}} = 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{FC}} = x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{DF}} = 9 - x$ 한편, $\triangle \mathrm{BDF}$, $\triangle \mathrm{BCF}$는 모두 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} ^{2} = ( \mathit{3} \sqrt{2} ) ^{2} + ( 9 - x ) ^{2} = x ^{2} + 3 ^{2}$ $18 + 81 - 18 x + x ^{2} = x ^{2} + 9$ $18 x = 90$ $\therefore x = 5$ $\displaystyle \therefore \triangle \mathrm{DEF} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$, $\displaystyle \triangle \mathrm{BEF} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ 이때, $\triangle \mathrm{BEF}$의 평면 $\mathrm{ABCD}$ 위로의 정사영이 $\triangle \mathrm{DEF}$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \therefore 60 \cos \theta = 60 \cdot \frac{2}{3} = 40$