종이 접기 내분 비

[출제의도] 선분의 내분을 이해하고 문제해결하기 좌표평면 위에 정사각형 $\mathrm{ABCD}$를 점 $\mathrm{C}$가 원점과 일치하도록 놓으면 $\mathrm{A} \left( 0 , 12 \right)$, $\mathrm{B} \left( - 6 , 6 \right)$, $\mathrm{C} \left( 0 , 0 \right)$, $\mathrm{D} \left( 6 , 6 \right)$ 점 $\mathrm{F}$는 선분 $\mathrm{AD}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이므로 $\mathrm{F} \left( 4 , 8 \right)$ 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{F}$를 지나는 직선은 $y = 2 x$이고 점 $\mathrm{D}' \left( \mathit{a} , b \right)$라 하면 선분 $\mathrm{DD}'$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{a + 6}{2} , \frac{b + 6}{2} \right)$이 직선 $y = 2 x$위에 있으므로 $\displaystyle \frac{b + 6}{2} = a + 6$ $b = 2 a + 6 \cdots \cdots \text{㉠}$ 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{D}'$을 지나는 직선은 직선 $y = 2 x$와 수직이므로 $\displaystyle - \frac{1}{2} = \frac{b - 6}{a - 6} \cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\displaystyle a = \frac{6}{5}$, $\displaystyle b = \frac{42}{5}$ $\therefore$$\displaystyle \mathrm{D}' \left( \frac{6}{5} , \frac{42}{5} \right)$ 직선 $\mathrm{A}' H$는 직선 $\mathrm{CD}$와 평행하므로 기울기가 $1$이고 점 $\mathrm{D}'$을 지나므로 $\displaystyle y = x + \frac{36}{5} \cdots \cdots \text{㉢}$ $\therefore$$\displaystyle \mathrm{A}' \left( 0 , \frac{36}{5} \right)$ 직선 $\mathrm{AD}$의 방정식은 $y = - x + 12 \cdots \cdots \text{㉣}$ $\text{㉢}$, $\text{㉣}$에서 $\displaystyle \mathrm{H} \left( \frac{12}{5} , \frac{48}{5} \right)$ 점 $\mathrm{M}$은 점 $\mathrm{H}$와 $y$좌표가 같으므로 $\therefore$$\displaystyle \mathrm{M} \left( 0 , \frac{48}{5} \right)$ 점 $\mathrm{A}'$이 선분 $\mathrm{MC}$를 $1 : k$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \left( 0 , \frac{48 k}{5 \left( 1 + k \right)} \right) = \left( 0 , \frac{36}{5} \right)$ $\therefore$$k = 3$ 따라서 $50 k = 150$

$\mathrm{O} \left( = C \right)$ $y = 2 x$ $y = - x + 12$