기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

종이 접기 이면각

문제

[그림 11]과 같이 AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}=3= 3, AD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}}=27\displaystyle = 2 \sqrt{7}인 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD} 모양의 종이가 있다. 선분 AD\mathrm{AD}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하자. 두 선분 BM\mathrm{BM}, CM\mathrm{CM}을 접는 선으로 하여 [그림 22]와 같이 두 점 A,D\mathrm{A} , D가 한 점 P\mathrm{P}에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 PBM\mathrm{PBM}과 평면 BCM\mathrm{BCM}이 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하자. cos⁡θ\cos \theta의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

[그림 11]

[그림 22]

①1727\displaystyle \frac{17}{27}②23\displaystyle \frac{2}{3}③1927\displaystyle \frac{19}{27}④2027\displaystyle \frac{20}{27}⑤79\displaystyle \frac{7}{9}

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⑤

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해설

AM‾=7\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{7}이고, 점 M\mathrm{M}에서 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}, 점 A\mathrm{A}에서 BM‾\displaystyle \overline{\mathrm{BM}}에 내린 수선의 발을 X\mathrm{X}라 하면 직선 AX\mathrm{AX}와 BH‾\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}의 교점이 생긴다. 이때 이 점을 Y\mathrm{Y}라 하자. △AXM\triangle {\mathrm{AXM}}과 △MXY\triangle \mathrm{MXY}, △BXA\triangle {\mathrm{BXA}}가 닮음이므로 MY‾=73\displaystyle \overline{\mathrm{MY}} = \frac{7}{3} AX‾=XP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AX}} = \overline{\mathrm{XP}}이므로 cos⁡θ=XY‾XP‾=XY‾AX‾\displaystyle \cos \theta = {\frac{\overline{\mathrm{XY}}}{\overline{\mathrm{XP}}} = \frac{\overline{\mathrm{XY}}}{\overline{\mathrm{AX}}}} △ABX\triangle {\mathrm{ABX}}와 △YMX\triangle {\mathrm{YMX}}이므로 XY‾XA‾=MY‾AB‾=79\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{XY}}}{\overline{\mathrm{XA}}} = {\frac{\overline{\mathrm{MY}}}{\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{7}{9}} ∴cos⁡θ=79\displaystyle \therefore \cos \theta = \frac{7}{9}

태그

#이면각#삼수선의 정리#접기

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