대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

종단속력 관계식

문제

밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 물체에 작용하는 중력과 공기 저항력이 평형을 이루게 될 때의 물체의 속력을 종단속력이라 한다. 질량이 $m$ 이고 단면적이 $S$ 인 구형 물체의 종단속력 $v$ (m/초)는 다음 식을 만족시킨다고 한다. $\displaystyle v ^{2} = \frac{2 m g}{D \rho S}$ (단, $D$ 는 끌림 계수, $\rho$ 는 공기 밀도, $g$ 는 중력가속도이며, 질량 단위는 $\mathrm{kg}$ , 단면적 단위는 $\mathrm{m} ^{2}$ 이다.) 밀도가 균일한 공기 중에서 자유 낙하하는 구형의 두 물체 $A$ 와 $B$ 에 작용하는 끌림 계수( $D$ ), 공기 밀도( $\rho$ ), 중력가속도( $g$ )가 서로 같다. 두 물체 $A$ 와 $B$ 의 질량의 비는 $\displaystyle 1 : 2 \sqrt{2}$ 이고 단면적의 비는 $1 : 8$ 일 때, 두 물체 $A$ , $B$ 의 종단속력을 각각 $v _{A}$ , $v _{B}$ 라 하자. $\displaystyle \left( \frac{v _{A}}{v _{B}} \right) ^{3}$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle 2 ^{\frac{9}{8}}$ ② $\displaystyle 2 ^{\frac{3}{2}}$ ③ $\displaystyle 2 ^{\frac{15}{8}}$ ④ $\displaystyle 2 ^{\frac{9}{4}}$ ⑤ $\displaystyle 2 ^{\frac{21}{8}}$

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④

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해설

[출제의도] 지수법칙을 이용한 실생활 문제 해결하기 두 물체 $A$ , $B$ 의 질량을 각각 $m _{A}$ , $m _{B}$ 라 하고 단면적을 각각 $S _{A}$ , $S _{B}$ 라 하자. $\displaystyle m _{A} : m _{B} = 1 : 2 \sqrt{2}$ , $S _{A} : S _{B} = 1 : 8$ 이므로 $\displaystyle m _{B} = 2 \sqrt{2} m _{A}$ , $S _{B} = 8 S _{A}$ 이다. $\displaystyle \frac{v _{A} ^{2}}{v _{B} ^{2}} = \frac{\frac{2 m _{A} g}{D \rho S _{A}}}{\frac{4 \sqrt{2} m _{A} g}{D \rho \left( 8 S _{A} \right)}} = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \left( \frac{v _{A}}{v _{B}} \right) ^{2} = 2 ^{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \left\{ \left( \frac{v _{A}}{v _{B}} \right) ^{2} \right\} ^{\frac{3}{2}} = \left( 2 ^{\frac{3}{2}} \right) ^{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \therefore \left( \frac{v _{A}}{v _{B}} \right) ^{3} = 2 ^{\frac{9}{4}}$

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