미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

조임정리 극한

문제

함수 $f ( x )$ 가 $x > - 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle \ln ( 1 + x ) \leq f ( x ) \leq \frac{1}{2} \left( e ^{2x} - 1 \right)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( 3 x )}{x}$ 의 값은? [3점] ① $1$ ② $e$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $2 e$

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③

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해설

$x > 0$ 일 때 $\displaystyle \frac{\ln ( 1 + 3 x )}{x} \leq \frac{f ( 3 x )}{x} \leq \frac{\frac{1}{2} \left( e ^{6x} - 1 \right)}{x}$ 이고 $- 1 < x < 0$ 일 때 $\displaystyle \frac{\ln ( 1 + 3 x )}{x} \geq \frac{f ( 3 x )}{x} \geq \frac{\frac{1}{2} \left( e ^{6x} - 1 \right)}{x}$ 이므로 $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( 3 x )}{x} = 3$

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