조화수열 부등식 귀납법

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \geq 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n ( n + 1 )} \right\}$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다. [증명] ( i ) $n = 1$일 때, (좌변)$\displaystyle = 1 \geq 2 \times \frac{1}{1 \cdot 2} =$(우변)이므로 주어진 부등식은 성립한다. (ii) $n = k$($k \geq 1$)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k} \geq 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k ( k + 1 )} \right\}$ 이 식의 양변에 $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$을 더하면 $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1}$ $\displaystyle \geq 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k ( k + 1 )} \right\} + \frac{1}{k + 1}$ $\displaystyle \geq 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k ( k + 1 )} \right\} + \frac{1}{k + 2}$ $\displaystyle = 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k ( k + 1 )} \right\} + \frac{1}{k + 1} \cdot$${\square {( \text{가} )}}$ $\displaystyle \geq 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{k ( k + 1 )} \right\} + \frac{{\square {\text{나}}}}{( k + 1 ) ( k + 2 )}$ $\displaystyle = 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} \right\}$ $\displaystyle \therefore 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k + 1}$ $\displaystyle \geq 2 \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} \right\}$ 따라서 $n = k + 1$일 때도 주어진 부등식은 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [3점]