대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조화 합 부등식 귀납법 증명

문제

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{2 n + 1} \frac{1}{n + i} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{3 n + 1} > 1$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]

자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{3 n + 1}$ 이라 할 때, $a _{n} > 1$ 임을 보이면 된다. $( 1 )$ $n = 1$ 일 때 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1$ 이다. $( 2 )$ $n = k$ 일 때 $a _{k} > 1$ 이라고 가정하면 $n = k + 1$ 일 때 $\displaystyle a _{k + 1} = \frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \cdots + \frac{1}{3 k + 4}$ $\displaystyle = a _{k} + \left( \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 3} + \frac{1}{3 k + 4} \right) - \square {\text{(가)}}$ 한편, $( 3 k + 2 ) ( 3 k + 4 ) \square {\text{(나)}} ( 3 k + 3 ) ^{2}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} > \square {\text{(다)}}$ 그런데 $a _{k} > 1$ 이므로 $\displaystyle a _{k + 1} > a _{k} + \left( \frac{1}{3 k + 3} + \square {\text{(다)}} \right) - \square {\text{(가)}} > 1$ 그러므로 $( 1 )$ , $( 2 )$ 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{n} > 1$ 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ① $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$ $\succ$ $\displaystyle \frac{2}{3 k + 3}$ ② $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$ $\prec$ $\displaystyle \frac{2}{3 k + 3}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$ $\prec$ $\displaystyle \frac{4}{3 k + 3}$ ④ $\displaystyle \frac{2}{k + 1}$ $\succ$ $\displaystyle \frac{4}{3 k + 3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{2}{k + 1}$ $\prec$ $\displaystyle \frac{1}{k + 1}$

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②

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해설

(2) $n = k$ 일 때 $a _{k} > 1$ 이라고 가정하면 $\displaystyle a _{k} = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{3 k + 1} > 1$ 이면 $n = k + 1$ 일 때 $\displaystyle a _{k+1} = \frac{1}{k + 2} + \frac{1}{k + 3} + \cdots + \frac{1}{3 k + 4}$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{3 k + 1} \right\}$ $\displaystyle + \left( \frac{1 _{}}{3 k + 2} + \frac{1 _{}}{3 k + 3} + \frac{1 _{}}{3 k + 4} \right) - \frac{1}{k + 1}$ 한편, $9 k ^{2} + 18 k + 8 < 9 k ^{2} + 18 k + 9$ 이므로 $( 3 k + 2 ) ( 3 k + 4 ) < ( 3 k + 3 ) ^{2}$ 양변을 $( 3 k + 2 ) ( 3 k + 4 ) ( 3 k + 3 )$ 으로 나누면 $\displaystyle \frac{1}{3 k + 3} < \frac{( 3 k + 3 )}{( 3 k + 2 ) ( 3 k + 4 )}$ 이므로 $\displaystyle \frac{2}{3 k + 3} < \frac{2 ( 3 k + 3 )}{( 3 k + 2 ) ( 3 k + 4 )}$ $\displaystyle \frac{2}{3 k + 3} < \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4}$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} > \frac{2}{3 k + 3}$

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