대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조합으로 정의된 수열의 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 an=n+1C2a _{n} = _{n + 1} \mathrm{C} _{2} 를 만족시킬 때, ∑n=191an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} \frac{1}{a _{n}}의 값은? [4점] ①75\displaystyle \frac{7}{5}②32\displaystyle \frac{3}{2}③85\displaystyle \frac{8}{5}④1710\displaystyle \frac{17}{10}⑤95\displaystyle \frac{9}{5}

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⑤

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합 이해하기 an=n+1C2=(n+1)n2\displaystyle a _{n} = _{n + 1} {\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{_{2}}} = \frac{\left( n + 1 \right) n}{2}이므로 1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{n \left( n + 1 \right)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) 따라서 ∑n=191an=2{(1−12)+(12−13)+⋯+(19−110)}\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} \frac{1}{a _{n}} = 2 \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) \right\}=95\displaystyle = \frac{9}{5}

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