확률과 통계순열과 조합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

조합 식 빈칸 채우기

문제

자연수 nn에 대하여 원소가 2n2 n개인 집합 SS에서 2\mathrm{2}개의 원소를 뽑는 경우의 수 2nC2\mathit{_{2 n}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}를 다음과 같은 방법으로 구하였다.

SS를 원소가 nn개이고 서로소인 두 집합 AA와 BB로 나누고, 다음과 같은 경우를 생각한다. (ⅰ) AA와 BB 중 한 집합에서만 두 개의 원소를 뽑는 경우 (ⅱ) AA와 BB각 집합에서 원소를 한 개씩 뽑는 경우 (ⅰ)의 경우의 수는 □(가)\square {( \text{가} )} 이고 (ⅱ)의 경우의 수는 □(나)\square {( \text{나} )} 이다. (ⅰ)과 (ⅱ) 둘 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여 2nC2=\mathit{_{2 n}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} =□(가)\square {( \text{가} )}++□(나)\square {( \text{나} )} 이다.

위에서 (가)와 (나)에 알맞은 것은? [3점]

(가)(나)
①nC2×nC2{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}} \times _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}nC1×nC1{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}}
②2nC22 _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}nC1×nC1{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}}
③3nC23 _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}nC1×nC1−nC2{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \times _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}} - _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}
④2nC22 _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}nC2×n−1C1{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}} \times _{n - 1} \mathrm{C} \mathit{_{1}}
⑤nC2−nC1{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}} - _{n} \mathrm{C} \mathit{_{1}}2nC22 _{n} \mathrm{C} \mathit{_{2}}
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②

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해설

(ⅰ) AA와 BB 중 한 집합에서만 두 개의 원소를 뽑으려면 집합 AA에서 22개 원소를 뽑는 경우와 집합 BB에서 22개의 원소를 뽑는 경우를 합한 것이므로 nC2+nC2=2nC2{}_{n} \mathrm{C} _{2} \mathit{+} _{n} \mathrm{C} _{2} = \mathit{2} _{n} \mathrm{C} _{2} (ⅱ) AA와 BB 각 집합에서 원소를 한 개씩 뽑는 경우는 nC1×nC1{}_{n} \mathrm{C} _{1} \mathit{\times} _{n} \mathrm{C} _{1} (ⅰ)과 (ⅱ) 둘 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 2nC2=□2nC2+□nC1×nC1{}_{2 n} \mathrm{C} _{2} \mathit{=} {\square {2 _{n} \mathrm{C} _{2}}} + \mathit{\square {{} _{n} \mathrm{C} _{1} \mathit{\times} _{n} \mathrm{C} _{1}}}

태그

#조합#합의 법칙#빈칸

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