공통수학1이차방정식과 이차함수AI기본 문제 (3점 중반)

조건식 대입으로 최솟값 구하기

문제

두 실수 $x , y$ 에 대하여 $x + y = 2$ 일 때, $2 x ^{2} + y ^{2}$ 의 최솟값은? [3점] ① $2$ ② $\displaystyle \frac{7}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{8}{3}$ ④ $3$ ⑤ $\displaystyle \frac{10}{3}$

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③

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해설

$x + y = 2$ 에서 $y = 2 - x$ 이므로 $2 x ^{2} + y ^{2} = 2 x ^{2} + ( 2 - x ) ^{2} = 3 x ^{2} - 4 x + 4$ $\displaystyle = 3 \left( x - \frac{2}{3} \right) ^{2} + \frac{8}{3}$ 따라서 $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ , $\displaystyle y = \frac{4}{3}$ 일 때 최솟값은 $\displaystyle \frac{8}{3}$ 이다. ③

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