조건이 있는 점화식

$a _{4} \leq 4$이면 $a _{5} = 10 - a _{4} = 5$에서 $a _{4} = 5$이므로 $a _{4} \leq 4$를 만족시키지 않는다. 그러므로 $a _{4} > 4$이고 $a _{4} = a _{5}$에서 $a _{4} = 5$이다. $a _{3} > 3$일 때, $a _{3} = a _{4}$에서 $a _{3} = 5$이고 $a _{3} \leq 3$일 때, $a _{4} = 7 - a _{3} = 5$에서 $a _{3} = 2$이다. (ⅰ) $a _{3} = 5$인 경우 ① $a _{2} > 2$이면 $a _{2} = a _{3}$에서 $a _{2} = 5$이다. $a _{1} > 1$일 때, $a _{1} = a _{2}$에서 $a _{1} = 5$이고 $a _{1} \leq 1$일 때, $a _{2} = 1 - a _{1} = 5$에서 $a _{1} = - 4$이다. ② $a _{2} \leq 2$이면 $a _{3} = 4 - a _{2} = 5$에서 $a _{2} = - 1$이다. $a _{1} > 1$일 때, $a _{1} = a _{2} = - 1$이므로 $a _{1} > 1$을 만족시키지 않는다. $a _{1} \leq 1$일 때, $a _{2} = 1 - a _{1} = - 1$에서 $a _{1} = 2$이므로 $a _{1} \leq 1$을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a _{3} = 2$인 경우 ① $a _{2} > 2$이면 $a _{2} = a _{3}$에서 $a _{2} = 2$이므로 $a _{2} > 2$를 만족시키지 않는다. ② $a _{2} \leq 2$이면 $a _{3} = 4 - a _{2} = 2$에서 $a _{2} = 2$이다. $a _{1} > 1$일 때, $a _{1} = a _{2}$에서 $a _{1} = 2$이고 $a _{1} \leq 1$일 때, $a _{2} = 1 - a _{1} = 2$에서 $a _{1} = - 1$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a _{1} = 5$ 또는 $a _{1} = - 4$ 또는 $a _{1} = 2$ 또는 $a _{1} = - 1$이다. 따라서 구하는 모든 $a _{1}$의 값의 곱은 $5 \times \left( - 4 \right) \times 2 \times \left( - 1 \right) = 40$