공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조건으로 구하는 역행렬

문제

이차정사각행렬 A,BA , B가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) A2−AB=EA ^{2} - AB = E (나) B2=−EB ^{2} = - E

(A+B)−1=pA+qB( A + B ) ^{- 1} = pA + q B일 때, 상수 p,qp , q의 합 p+qp + q의 값은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점] ①−1- 1②−23\displaystyle - \frac{2}{3}③−13\displaystyle - \frac{1}{3}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤23\displaystyle \frac{2}{3}

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③

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해설

[출제의도] 행렬의 연산과 역행렬을 이해하여 추론하기 조건에서 곱셈에 대한 교환법칙 AB=BAAB = BA가 성립하므로 (A+B)(A−2B)=A2−AB−2B2( A + B ) ( A - 2 B ) = A ^{2} - AB - 2 B ^{2} 조건 (가), (나)에 의해서 A2−AB−2B2=E−2B2=3EA ^{2} - AB - 2 B ^{2} = E - 2 B ^{2} = 3 E ∴\therefore(A+B)−1=13A−23B\displaystyle ( A + B ) ^{-1} = \frac{1}{3} A - \frac{2}{3} B ∴\thereforep+q=−13\displaystyle p + q = - \frac{1}{3}

태그

#역행렬#행렬의 연산

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