조건을 만족시키는 순서쌍의 개수

[출제의도] 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가? 조건 (나)에서 $a ^{2} - b ^{2}$$= \mathit{-} 5$ 또는 $a ^{2} - b ^{2}$$= 5$ 즉, $\left( b - a \right) \left( b + a \right)$$= 5$ 또는 $\left( a - b \right) \left( a + b \right)$$= 5$ 이고, $a$, $b$는 자연수이므로 $b - a$$= 1$, $b + a$$= 5$ 또는 $a - b$$= 1$ 또는 $a + b$$= 5$ 따라서 $a = 2$, $b = 3$ 또는 $a = 3$, $b = 2$이다. 또한, 조건 (가)에서 $a + b + c + d + e$$= 12$ 이므로 $c + d + e$$= 7$이고 $c , d , e$는 자연수이므로 $c = c' + 1$, $d = d' + 1$, $e = e' + 1$ ($c' , d' , e'$은 음이 아닌 정수) 로 놓으면 $\left( c' + 1 \right) + \left( d' + 1 \right) + \left( e' + 1 \right)$$= 7$ $c' + d' + e'$$= 4$ 이를 만족시키는 모든 순서쌍 $\left( c' , d' , e' \right)$의 개수는 $\mathrm{} _{3} H _{4}$$= _{3 + 4 - 1} \mathrm{C} _{4}$$\mathrm{=} _{6} C _{4}$$= _{6} \mathrm{C} _{2}$$\displaystyle = \frac{6 \times 5}{2 \times 1}$$= 15$ 따라서 구하는 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$의 개수는 $2 \times 15$$= 30$