조건을 만족시키는 함수 개수

[출제의도] 중복조합을 활용하여 추론하기 조건 (가)에서 $\displaystyle \sqrt{f \left( 1 \right) \times f \left( 2 \right) \times f \left( 3 \right)}$의 값이 자연수인 경우는 세 수 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $f \left( 3 \right)$ 중 하나의 수가 $1$ 또는 $4$이고 나머지 두 수가 서로 같은 경우이다. 조건 (나)에 의하여 (ⅰ) $f \left( 3 \right) \mathit{=} 1$인 경우 순서쌍 $\left( f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) \right)$은 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$ 순서쌍 $\left( f \left( 4 \right) , f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right) \right)$의 개수는 ${} _{\mathrm{5}} H _{3}$ 그러므로 $1 \times _{5} \mathrm{H} _{3} = _{7} C _{3} = 35$ (ⅱ) $f \left( 3 \right) \mathit{=} 2$인 경우 순서쌍 $\left( f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) \right)$은 $\left( 1 , 2 , 2 \right)$ 순서쌍 $\left( f \left( 4 \right) , f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right) \right)$의 개수는 ${} _{\mathrm{4}} H _{3}$ 그러므로 $1 \times _{4} \mathrm{H} _{3} = _{6} C _{3} = 20$ (ⅲ) $f \left( 3 \right) \mathit{=} 3$인 경우 순서쌍 $\left( f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) \right)$은 $\left( 1 , 3 , 3 \right)$ 순서쌍 $\left( f \left( 4 \right) , f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right) \right)$의 개수는 ${} _{\mathrm{3}} H _{3}$ 그러므로 $1 \times _{3} \mathrm{H} _{3} = _{5} C _{3} = 10$ (ⅳ) $f \left( 3 \right) \mathit{=} 4$인 경우 순서쌍 $\left( f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) \right)$은 $\left( 1 , 1 , 4 \right)$, $\left( 1 , 4 , 4 \right)$, $\left( 2 , 2 , 4 \right)$, $\left( 3 , 3 , 4 \right)$, $\left( 4 , 4 , 4 \right)$ 순서쌍 $\left( f \left( 4 \right) , f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right) \right)$의 개수는 ${} _{\mathrm{2}} H _{3}$ 그러므로 $5 \times _{2} \mathrm{H} _{3} = 5 \times _{4} C _{3} = 20$ (ⅴ) $f \left( 3 \right) \mathit{=} 5$인 경우 순서쌍 $\left( f \left( 1 \right) , f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) \right)$은 $\left( 1 , 5 , 5 \right)$, $\left( 4 , 5 , 5 \right)$ 순서쌍 $\left( f \left( 4 \right) , f \left( 5 \right) , f \left( 6 \right) \right)$의 개수는 ${} _{\mathrm{1}} H _{3}$ 그러므로 $2 \times _{\mathrm{1}} H _{3} = 2 \times _{3} C _{3} = 2$ 따라서 (ⅰ) ~ (ⅴ)에 의하여 함수 $f$의 개수는 $35 + 20 + 10 + 20 + 2 = 87$