조건을 만족시키는 함수 개수

집합 $X = \left\{ - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 \right\}$에 대하여 $X$에서 $X$로의 함수 $f$는 조건 (가)에서 $x + f \left( x \right) \in X$, $- x - 2 \leq f ( x ) \leq - x + 2$ $0 \leq f ( - 2 ) \leq 2$, $- 1 \leq f ( - 1 ) \leq 2$, $- 2 \leq f ( 0 ) \leq 2$ $- 2 \leq f ( 1 ) \leq 1$, $- 2 \leq f ( 2 ) \leq 0$ (ⅰ) $f ( 0 ) = - 2$일 때 조건 (나)에 의하여 $f \left( - 2 \right)$, $f \left( - 1 \right)$의 순서쌍의 개수는 $2 + 3 + 4 = 9$ $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 값은 $- 2$이다. 따라서 함수 $f$의 개수는 $9 \times 1 = 9$ (ⅱ) $f ( 0 ) = - 1$일 때 조건 (나)에 의하여 $f \left( - 2 \right)$, $f \left( - 1 \right)$의 순서쌍의 개수는 $2 + 3 + 4 = 9$ $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 순서쌍의 개수는 $1 + 2 = 3$ 따라서 함수 $f$의 개수는 $9 \times 3 = 27$ (ⅲ) $f ( 0 ) = 0$일 때 조건 (나)에 의하여 $f \left( - 2 \right)$, $f \left( - 1 \right)$의 순서쌍의 개수는 $0$, $1$, $2$ 중 중복을 허용하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같다. $\mathit{_{3}} \mathrm{H} _{2} = \mathit{_{4}} \mathrm{C} _{2} = 6$ $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 순서쌍의 개수는 $0$, $- 1$, $- 2$ 중 중복을 허용하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같다. $\mathit{_{3}} \mathrm{H} _{2} = \mathit{_{4}} \mathrm{C} _{2} = 6$ 따라서 함수 $f$의 개수는 $6 \times 6 = 36$ (ⅳ) $f ( 0 ) = 1$일 때 조건 (나)에 의하여 $f \left( - 2 \right)$, $f \left( - 1 \right)$의 순서쌍의 개수는 $1$, $2$ 중 중복을 허용하여 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같다. $\mathit{_{2}} \mathrm{H} _{2} = \mathit{_{3}} \mathrm{C} _{2} = 3$ $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 순서쌍의 개수는 $1 + 2 + 3 + 3 = 9$ 따라서 함수 $f$의 개수는 $9 \times 3 = 27$ (ⅴ) $f ( 0 ) = 2$일 때 조건 (나)에 의하여 $f \left( - 2 \right)$, $f \left( - 1 \right)$의 값은 $2$이다. $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 순서쌍의 개수는 $1 + 2 + 3 + 3 = 9$ 따라서 함수 $f$의 개수는 $9 \times 1 = 9$ 이상에서 함수 $f$의 개수는 $9 + 27 + 36 + 27 + 9 = 108$ [다른 풀이] $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$의 $5$개 중 중복을 허용하여 $5$개를 선택하는 중복조합의 수는 $\mathit{_{5}} \mathrm{H} _{5} = \mathit{_{9}} \mathrm{C} _{4} = 126$ 이때 가능하지 않은 경우의 수는 (ⅰ) $f ( 1 ) = 2$일 때 선택할 수 없는 순서쌍은 $( 2 , 2 , 2 , 2 , 2 )$, $( 2 , 2 , 2 , 2 , 1 )$, $( 2 , 2 , 2 , 2 , 0 )$, $( 2 , 2 , 2 , 2 , - 1 )$, $( 2 , 2 , 2 , 2 , - 2 )$ (ⅱ) $f ( 1 ) = 1$일 때 선택할 수 없는 순서쌍은 $( 2 , 2 , 2 , 1 , 2 )$, $( 2 , 2 , 1 , 1 , 1 )$, $( 2 , 1 , 1 , 1 , 1 )$, $( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 )$ (ⅲ) $f ( - 2 ) = - 1$ 또는 $f ( - 2 ) = - 2$일 때 선택할 수 없는 경우의 수는 $- 2$, $- 1$ 중에서 중복을 허용하여 $5$개를 선택하는 중복조합의 수와 같다. $\mathit{_{2}} \mathrm{H} _{5} = \mathit{_{6}} \mathrm{C} _{5} = 6$ (ⅳ) $( 2 , - 2 , - 2 , - 2 , - 2 )$, $( 1 , - 2 , - 2 , - 2 , - 2 )$, $( 0 , - 2 , - 2 , - 2 , - 2 )$일 때 이상에서 구하는 경우의 수는 $126 - 5 - 4 - 6 - 3 = 108$ [다른 풀이] $f ( - 2 )$가 가질 수 있는 값은 $0$, $1$, $2$ $f ( 2 )$가 가질 수 있는 값은 $- 2$, $- 1$, $0$ $f ( - 2 ) \geq f ( - 1 ) \geq f ( 0 ) \geq f ( 1 ) \geq f ( 2 )$이므로 $f ( - 2 ) - f ( 2 )$의 값에 따라 가질 수 있는 경우의 수를 구하면 (ⅰ) $f ( - 2 ) - f ( 2 ) = 0$일 때 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 2 ) , f ( 2 ) \right)$는 $( 0 , 0 )$ 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) \right)$은 $\left( 0 , 0 , 0 \right)$ 따라서 가능한 함수의 개수는 $1$ (ⅱ) $f ( - 2 ) - f ( 2 ) = 1$일 때 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 2 ) , f ( 2 ) \right)$는 $( 0 , - 1 )$, $( 1 , 0 )$ 각각의 경우에 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) \right)$의 개수는 ${} _{2} \mathrm{H} {} _{3}$이므로 전체 함수의 개수는 $2 \times {} _{2} \mathrm{H} {} _{3} = 2 \times 4 = 8$ (ⅲ) $f ( - 2 ) - f ( 2 ) = 2$일 때 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 2 ) , f ( 2 ) \right)$는 $( 0 , - 2 )$, $( 1 , - 1 )$, $( 2 , 0 )$ 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) \right)$의 개수는 $( 1 , - 1 )$일 때 ${} _{3} \mathrm{H} {} _{3}$ $( 0 , - 2 )$, $( 2 , 0 )$일 때 ${} _{3} \mathrm{H} {} _{3} - 1$ 따라서 가능한 함수의 개수는 ${} _{3} \mathrm{H} {} _{3} + 2 \times \left( {} _{3} \mathrm{H} {} _{3} - 1 \right) = 28$ (ⅳ) $f ( - 2 ) - f ( 2 ) = 3$일 때 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 2 ) , f ( 2 ) \right)$는 $( 1 , - 2 )$, $( 2 , - 1 )$ 각각의 경우에 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) \right)$의 개수는 ${} _{4} \mathrm{H} {} _{3} - 1$ 따라서 가능한 함수의 개수는 $2 \times \left( {} _{4} \mathrm{H} {} _{3} - 1 \right) = 38$ (ⅴ) $f ( - 2 ) - f ( 2 ) = 4$일 때 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 2 ) , f ( 2 ) \right)$는 $( 2 , - 2 )$ 가능한 순서쌍 $\left( f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) \right)$의 개수는 ${} _{5} \mathrm{H} {} _{3} - 2$ 따라서 가능한 함수의 개수는 ${} _{5} \mathrm{H} {} _{3} - 2 = 33$ 이상에서 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $1 + 8 + 28 + 38 + 33 = 108$