조건을 만족시키는 부분집합

[출제의도] 집합의 연산을 이용하여 부분집합의 개수를 추론한다. 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

$A \cap B = \left\{ 2 \right\}$이므로 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다. (ⅰ) $2 \in X$인 경우 이때 $X \cap A \ne \emptyset$, $X \cap B \ne \emptyset$을 만족시킨다. 그러므로 집합 $X$는 전체집합 $U$의 $2$가 아닌 원소인 $1$, $3$, $4$, $5$의 일부 또는 전부를 원소로 갖거나 어느 것도 원소로 갖지 않을 수 있다. 따라서 $2 \in X$인 경우의 집합 $X$의 개수는 집합 $\left\{ 1 , 3 , 4 , 5 \right\}$의 부분집합의 개수와 같으므로 $2 ^{4}$$= 16$ (ⅱ) $2 \notin X$인 경우 $2$를 제외한 집합 $A$의 원소는 $1$이고, $2$를 제외한 집합 $B$의 원소는 $3$, $4$이므로 $X \cap A \ne \emptyset$, $X \cap B \ne \emptyset$을 만족시키려면 집합 $X$는 $1$을 반드시 원소로 갖고 $3$ 또는 $4$를 원소로 가져야 한다. 이때 $1 \in X$, $3 \in X$, $4 \notin X$인 경우와 $1 \in X$, $3 \notin X$, $4 \in X$인 경우와 $1 \in X$, $3 \in X$, $4 \in X$인 경우의 $3$가지 경우가 있다. 이때 각 경우에서 집합 $X$는 집합 $\left( A \cup B \right) ^{C}$의 원소인 $5$를 원소로 갖거나 갖지 않을 수 있다. 따라서 $2 \notin X$인 경우의 집합 $X$의 개수는 $3 \times 2$$= 6$ (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 집합 $X$의 개수는 $16 + 6$$= 22$