확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

조건을 만족하는 함수의 개수

문제

집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \right\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \rightarrow X$ 의 개수는? [4점]

(가) $f \left( 1 \right) \times f \left( 6 \right)$ 의 값이 $6$ 의 약수이다. (나) $2 f \left( 1 \right) \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq 2 f \left( 6 \right)$

① $166$ ② $171$ ③ $176$ ④ $181$ ⑤ $186$

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②

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해설

조건 (가), (나)에 의하여 (ⅰ) $f \left( 1 \right) = 1$ , $f \left( 6 \right) = 1$ 일 때 조건 (나)에서 $f \left( 2 \right) = f \left( 3 \right) = f \left( 4 \right) = f \left( 5 \right) = 2$ 따라서 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $1$ (ⅱ) $f \left( 1 \right) = 1$ , $f \left( 6 \right) = 2$ 일 때 조건 (나)에서 $2 \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq 4$ 따라서 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} _{4} = \mathit{_{6}} \mathrm{C} _{4} = 15$ (ⅲ) $f \left( 1 \right) = 1$ , $f \left( 6 \right) = 3$ 일 때 조건 (나)에서 $2 \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq 6$ 따라서 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $\mathit{_{5}} \mathrm{H} _{4} = \mathit{_{8}} \mathrm{C} _{4} = 70$ (ⅳ) $f \left( 1 \right) = 1$ , $f \left( 6 \right) = 6$ 일 때 조건 (나)에서 $2 \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq 12$ 따라서 (ⅲ)에서와 같은 방법으로 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $\mathit{_{5}} \mathrm{H} _{4} = \mathit{_{8}} \mathrm{C} _{4} = 70$ (ⅴ) $f \left( 1 \right) = 2$ , $f \left( 6 \right) = 3$ 일 때 조건 (나)에서 $4 \leq f \left( 2 \right) \leq f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq 6$ 따라서 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $\mathit{_{3}} \mathrm{H} _{4} = \mathit{_{6}} \mathrm{C} _{4} = 15$ 이상에서 구하는 함수 $f$ 의 개수는 $1 + 15 + 70 + 70 + 15 = 171$

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