조건을 만족하는 함수의 개수

[출제의도] 조건을 만족시키는 함수 $f$의 개수를 구할 수 있는가? 조건 (나)에서 $f \left( 1 \right) = 1 , f \left( 10 \right) = 10$이다. (ⅰ) $f \left( 5 \right) = 1 , f \left( 6 \right) = 7$인 경우 $f \left( 5 \right) = 1$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right) \right)$는 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$의 $1$개가 존재한다. $f \left( 6 \right) = 7$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 7 \right) , f \left( 8 \right) , f \left( 9 \right) \right)$는 $\left( 7 , 8 , 9 \right)$, $\left( 7 , 8 , 10 \right)$, $\left( 7 , 9 , 9 \right)$, $\left( 7 , 9 , 10 \right)$, $\left( 7 , 10 , 10 \right)$, $\left( 8 , 8 , 9 \right)$, $\left( 8 , 8 , 10 \right)$, $\left( 8 , 9 , 9 \right)$, $\left( 8 , 9 , 10 \right)$, $\left( 8 , 10 , 10 \right)$, $\left( 9 , 9 , 9 \right)$, $\left( 9 , 9 , 10 \right)$, $\left( 9 , 10 , 10 \right)$, $\left( 10 , 10 , 10 \right)$ 의 $14$개가 존재한다. 따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $1 \times 14 = 14$이다. (ⅱ) $f \left( 5 \right) = 2$, $f \left( 6 \right) = 8$인 경우 $f \left( 5 \right) = 2$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right) \right)$는 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 2 , 2 \right)$, $\left( 2 , 2 , 2 \right)$ 의 $4$ ($= _{2} \mathrm{H} _{3} = _{4} \mathrm{C} _{3}$)개가 존재한다. $f \left( 6 \right) = 8$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 7 \right) , f \left( 8 \right) , f \left( 9 \right) \right)$는 $\left( 8 , 8 , 9 \right)$, $\left( 8 , 8 , 10 \right)$, $\left( 8 , 9 , 9 \right)$, $\left( 8 , 9 , 10 \right)$, $\left( 8 , 10 , 10 \right)$, $\left( 9 , 9 , 9 \right)$, $\left( 9 , 9 , 10 \right)$, $\left( 9 , 10 , 10 \right)$, $\left( 10 , 10 , 10 \right)$ 의 $9$개가 존재한다. 따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $4 \times 9 = 36$이다. (ⅲ) $f \left( 5 \right) = 3$, $f \left( 6 \right) = 9$인 경우 $f \left( 5 \right) = 3$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right) \right)$는 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 1 , 3 \right)$, $\left( 1 , 2 , 2 \right)$, $\left( 1 , 2 , 3 \right)$, $\left( 1 , 3 , 3 \right)$ $\left( 2 , 2 , 2 \right)$, $\left( 2 , 2 , 3 \right)$ $\left( 2 , 3 , 3 \right)$ 의 $9$개가 존재한다. $f \left( 6 \right) = 9$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 7 \right) , f \left( 8 \right) , f \left( 9 \right) \right)$는 $\left( 9 , 9 , 9 \right)$, $\left( 9 , 9 , 10 \right)$, $\left( 9 , 10 , 10 \right)$, $\left( 10 , 10 , 10 \right)$ 의 $4$ ($= _{2} \mathrm{H} _{3} = _{4} \mathrm{C} _{3}$)개가 존재한다. 따라서 이 경우 함수 $f$의 개수는 $9 \times 4 = 36$이다. (ⅳ) $f \left( 5 \right) = 4$, $f \left( 6 \right) = 10$인 경우 $f \left( 5 \right) = 4$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right) \right)$는 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 1 , 3 \right)$, $\left( 1 , 1 , 4 \right)$ $\left( 1 , 2 , 2 \right)$, $\left( 1 , 2 , 3 \right)$, $\left( 1 , 2 , 4 \right)$, $\left( 1 , 3 , 3 \right)$, $\left( 1 , 3 , 4 \right)$, $\left( 2 , 2 , 2 \right)$, $\left( 2 , 2 , 3 \right)$, $\left( 2 , 2 , 4 \right)$, $\left( 2 , 3 , 3 \right)$, $\left( 2 , 3 , 4 \right)$ 의 $14$개가 존재한다. $f \left( 6 \right) = 10$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 7 \right) , f \left( 8 \right) , f \left( 9 \right) \right)$는 $\left( 10 , 10 , 10 \right)$ 의 $1$개가 존재한다. 따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $14 \times 1 = 14$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $14 + 36 + 36 + 14 = 100$ [다른 풀이] 조건 (나)에서 $f \left( 1 \right) = 1$, $f \left( 10 \right) = 10$이다. (ⅰ) $f \left( 5 \right) = 1 , f \left( 6 \right) = 7$인 경우 $f \left( 5 \right) = 1$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right) \right)$는 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$ 의 $1$개가 존재한다. $f \left( 6 \right) = 7$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 7 \right) , f \left( 8 \right) , f \left( 9 \right) \right)$의 개수는 다음과 같다. ① $f \left( 9 \right) = 9$일 때 ${} _{3} \mathrm{H} _{2} - 1$$= _{4} \mathrm{C} _{2} - 1$$= 6 - 1$$= 5$ ($f \left( 7 \right) = f \left( 8 \right) = 7$인 경우를 제외함) ② $f \left( 9 \right) = 10$일 때 ${} _{4} \mathrm{H} _{2} - 1$$= _{5} \mathrm{C} _{2} - 1$$= 10 - 1$$= 9$ ($f \left( 7 \right) = f \left( 8 \right) = 7$인 경우를 제외함) 따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $5 + 9 = 14$이다. (ⅱ) $f \left( 5 \right) = 2$, $f \left( 6 \right) = 8$인 경우 ① $f \left( 5 \right) = 2$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 2 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 4 \right) \right)$의 개수는 ${} _{2} \mathrm{H} _{3}$$= _{4} \mathrm{C} _{3}$$= 4$이다. ② $f \left( 6 \right) = 8$일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( f \left( 7 \right) , f \left( 8 \right) , f \left( 9 \right) \right)$의 개수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{3} - 1$$= _{5} \mathrm{C} _{3} - 1$$= 10 - 1$$= 9$ ($f \left( 7 \right) = f \left( 8 \right) = f \left( 9 \right) = 8$인 경우를 제외함) 따라서 이 경우의 함수 $f$의 개수는 $4 \times 9 = 36$이다. (ⅲ) 조건 (나)와 조건 (다)에서 함수 $f$의 $1 \leq x \leq 5$일 때의 규칙성과 $6 \leq x \leq 10$일 때의 규칙성이 서로 대칭적이므로 $f \left( 5 \right) = 3 , f \left( 6 \right) = 9$인 함수 $f$의 개수는 (ⅱ)의 함수의 개수와 같고, $f \left( 5 \right) = 4 , f \left( 6 \right) = 10$인 함수 $f$의 개수는 (ⅰ)의 함수의 개수와 같음을 추론할 수 있다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $2 \times \left( 14 + 36 \right) = 2 \times 50 = 100$