조건을 만족하는 함수

[출제의도] 중복순열 이해하기 $f ( 1 ) + f ( 2 ) = 4$를 만족시키는 경우는 $f ( 1 ) = 1$, $f ( 2 ) = 3$ 또는 $f ( 1 ) = f ( 2 ) = 2$ 또는 $f ( 1 ) = 3$, $f ( 2 ) = 1$의 $\mathrm{3}$가지이다. (ⅰ) $f ( 1 ) = 1$, $f ( 2 ) = 3$ 또는 $f ( 1 ) = 3$, $f ( 2 ) = 1$인 경우 $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$, $2$, $3$, $4$ 중에서 $\mathrm{3}$개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 $\displaystyle {} _{4} \prod _{3} = 64$ 그러므로 함수 $f$의 개수는 $2 \times 64 = 128$ (ⅱ) $f ( 1 ) = f ( 2 ) = 2$인 경우 $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 5 )$의 값 중 적어도 하나는 $\mathrm{1}$이어야 하므로 $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$, $2$, $3$, $4$ 중에서 $\mathrm{3}$개를 택하는 중복순열의 수에서 $2$, $3$, $4$ 중에서 $\mathrm{3}$개를 택하는 중복순열의 수를 뺀 것과 같다. 그러므로 함수 $f$의 개수는 $\displaystyle {} _{4} \prod _{3} - {} _{3} \prod _{3} = 64 - 27 = 37$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 함수 $f$의 개수는 $128 + 37 = 165$