조건 만족 네 자리 홀수

[출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기 조건을 만족시키는 자연수는 각 자리의 수의 합이 $8$보다 작은 네 자리의 홀수이므로 일의 자리의 수는 $1$, $3$, $5$이다. 이 네 자리의 자연수를 $a \times 10 ^{3} + b \times 10 ^{2} + c \times 10 + d$ $( a \ne 0 )$이라 하자. (ⅰ) $d = 1$인 경우 부등식 $a + b + c \leq 6$ $($$a \geq 1$$)$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $($$a , b , c$$)$의 개수와 같으므로 $a + b + c = 6$ $($$a \geq 1$$)$일 때, ${} _{3} \mathrm{H} _{5}$ $a + b + c = 5$ $($$a \geq 1$$)$일 때, ${} _{3} \mathrm{H} _{4}$ $\vdots$ $a + b + c = 1$ $($$a \geq 1$$)$일 때, ${} _{3} \mathrm{H} _{0}$ ${} _{3} \mathrm{H} _{5} + _{3} H _{4} + \cdots + _{3} H _{0} = _{7} C _{5} + _{6} C _{4} + \cdots + _{2} C _{0}$$= 56$ (ⅱ) $d = 3$인 경우 부등식 $a + b + c \leq 4$ $($$a \geq 1$$)$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $($$a , b , c$$)$의 개수와 같으므로 (ⅰ)과 같은 방법으로 ${} _{3} \mathrm{H} _{3} + _{3} H _{2} + _{3} H _{1} + _{3} H _{0} = _{5} C _{3} + _{4} C _{2} + _{3} C _{1} + _{2} C _{0}$$= 20$ (ⅲ) $d = 5$인 경우 부등식 $a + b + c \leq 2$ $($$a \geq 1$$)$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $($$a , b , c$$)$의 개수와 같으므로 (ⅰ)과 같은 방법으로 ${} _{3} \mathrm{H} _{1} + _{3} H _{0} = _{3} C _{1} + _{2} C _{0} = 4$ 따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 $80$ [다른풀이] (ⅰ) $d = 1$인 경우 $a + b + c \leq 6 ( a \geq 1 )$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 $a + b + c + e = 6 ( a \geq 1 )$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $e$의 순서쌍 $( a , b , c , e )$의 개수와 같다. 그러므로 ${} _{4} \mathrm{H} \mathit{_{5}} = _{8} \mathrm{C} _{5} = 56$ (ⅱ) $d = 3$인 경우 $a + b + c \leq 4 ( a \geq 1 )$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 $a + b + c + e = 4 ( a \geq 1 )$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $e$의 순서쌍 $( a , b , c , e )$의 개수와 같다. 그러므로 ${} _{4} \mathrm{H} \mathit{_{3}} = _{6} \mathrm{C} _{3} = 20$ (ⅲ) $d = 5$인 경우 $a + b + c \leq 2 ( a \geq 1 )$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 $a + b + c + e = 2 ( a \geq 1 )$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a$, $b$, $c$, $e$의 순서쌍 $( a , b , c , e )$의 개수와 같다. 그러므로 ${} _{4} \mathrm{H} \mathit{_{1}} = _{4} \mathrm{C} _{1} = 4$ 따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 $80$