조건 만족 함수의 개수

[출제의도] 중복순열을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구할 수 있는가 조건 (가)에서 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값은 모두 홀수이다. (ⅰ) 함수 $f$의 치역에 홀수가 $1$개 포함된 경우 홀수를 정하는 경우의 수는 ${} _{3} {\mathrm{C}} _{1} = 3$ 이때 $f \left( 2 \right) = 2$, $f \left( 4 \right) = 4$이므로 구하는 함수 $f$의 개수는 $3$ (ⅱ) 함수 $f$의 치역에 홀수가 $2$개 포함된 경우 홀수를 정하는 경우의 수는 ${} _{3} {\mathrm{C}} _{2} = 3$ ① 집합 $\left\{ f \left( 1 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 5 \right) \right\}$의 원소의 개수가 $1$이면 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$ $f \left( 2 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$ ② 집합 $\left\{ f \left( 1 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 5 \right) \right\}$의 원소의 개수가 $2$이면 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{2} \prod _{3} - 2 = 6$ $f \left( 2 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2 \times 2 = 4$ 이상에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $3 \times \left( 2 \times 2 + 6 \times 4 \right) = 84$ (ⅲ) 함수 $f$의 치역에 홀수가 $3$개 포함된 경우 홀수를 정하는 경우의 수는 ${} _{3} {\mathrm{C}} _{3} = 1$ ① 집합 $\left\{ f \left( 1 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 5 \right) \right\}$의 원소의 개수가 $1$이면 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $3$ $f \left( 2 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$ ② 집합 $\left\{ f \left( 1 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 5 \right) \right\}$의 원소의 개수가 $2$이면 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{3} {\mathrm{C}} _{2} {\times} \left( {} _{2} \prod _{3} - 2 \right) = 18$ $f \left( 2 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$ ③ 집합 $\left\{ f \left( 1 \right) , f \left( 3 \right) , f \left( 5 \right) \right\}$의 원소의 개수가 $3$이면 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 3 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $3 {!} = 6$ $f \left( 2 \right)$, $f \left( 4 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 ${} _{3} {\mathrm{C}} _{2} = 3$ 이상에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $1 \times \left( 3 \times 1 + 18 \times 2 + 6 \times 3 \right) = 57$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $3 + 84 + 57 = 144$