조건 만족 함수의 개수

[출제의도] 중복조합을 이용하여 추론하기 $f \left( k \right) = x _{k}$($k = 1$, $2$, $\cdots$, $8$)이라 하면 $x _{k}$는 $5$ 이하의 자연수이다. 구하는 함수 $f$의 개수는 두 방정식 $x _{4} = x _{1} + x _{2} + x _{3}$, $2 x _{4} = x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8}$을 만족시키는 $5$ 이하의 자연수 $x _{1}$, $x _{2}$, $\cdots$, $x _{8}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} , \cdots , x _{8} \right)$의 개수와 같다. $x _{1} + x _{2} + x _{3} \geq 3$이므로 조건 (가)에 의하여 $3 \leq x _{4} \leq 5$ (ⅰ) $x _{4} = 3$인 경우 방정식 $x _{1} + x _{2} + x _{3} = 3$을 만족시키는 $5$ 이하의 자연수 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$의 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} \right)$은 $\left( 1 , 1 , 1 \right)$의 $1$가지이다. 방정식 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8} = 6$을 만족시키는 $5$ 이하의 자연수 $x _{5}$, $x _{6}$, $x _{7}$, $x _{8}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{5} , x _{6} , x _{7} , x _{8} \right)$의 개수는 서로 다른 $4$개에서 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathrm{_{4}} H _{2} = _{5} C _{2} = 10$ 그러므로 함수 $f$의 개수는 $1 \times 10 = 10$ (ⅱ) $x _{4} = 4$인 경우 방정식 $x _{1} + x _{2} + x _{3} = 4$를 만족시키는 $5$ 이하의 자연수 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$의 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} \right)$은 $\left( 1 , 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 2 , 1 \right)$, $\left( 2 , 1 , 1 \right)$의 $3$가지이다. 방정식 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8} = 8$을 만족시키는 $5$ 이하의 자연수 $x _{5}$, $x _{6}$, $x _{7}$, $x _{8}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{5} , x _{6} , x _{7} , x _{8} \right)$의 개수는 서로 다른 $4$개에서 $4$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathrm{_{4}} H _{4} = _{7} C _{4} = 35$ 그러므로 함수 $f$의 개수는 $3 \times 35 = 105$ (ⅲ) $x _{4} = 5$인 경우 방정식 $x _{1} + x _{2} + x _{3} = 5$를 만족시키는 $5$ 이하의 자연수 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{1} , x _{2} , x _{3} \right)$의 개수는 서로 다른 $3$개에서 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathrm{_{3}} H _{2} = _{4} C _{2} = 6$ 방정식 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8} = 10$을 만족시키는 $5$ 이하의 자연수 $x _{5}$, $x _{6}$, $x _{7}$, $x _{8}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{5} , x _{6} , x _{7} , x _{8} \right)$의 개수는 방정식 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8} = 10$을 만족시키는 자연수 $x _{5}$, $x _{6}$, $x _{7}$, $x _{8}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{5} , x _{6} , x _{7} , x _{8} \right)$에서 $x _{k} \geq 6$인 자연수 $k$($k = 5$, $6$, $7$, $8$)이 존재하는 모든 순서쌍 $\left( x _{5} , x _{6} , x _{7} , x _{8} \right)$을 제외한 개수와 같다. 방정식 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8} = 10$을 만족시키는 자연수 $x _{5}$, $x _{6}$, $x _{7}$, $x _{8}$의 모든 순서쌍 $\left( x _{5} , x _{6} , x _{7} , x _{8} \right)$의 개수는 서로 다른 $4$개에서 $6$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathrm{_{4}} H _{6} = _{9} C _{6} = 84$ 방정식 $x _{5} + x _{6} + x _{7} + x _{8} = 10$을 만족시키는 자연수 $x _{5}$, $x _{6}$, $x _{7}$, $x _{8}$ 중 $6$ 이상의 자연수가 존재하는 모든 순서쌍 $\left( x _{5} , x _{6} , x _{7} , x _{8} \right)$의 개수는 네 수 $6$, $2$, $1$, $1$을 일렬로 나열하는 경우의 수와 네 수 $7$, $1$, $1$, $1$을 일렬로 나열하는 경우의 수의 합과 같으므로 $\displaystyle \frac{4 !}{2 !} + \frac{4 !}{3 !} = 16$ 그러므로 함수 $f$의 개수는 $6 \times \left( 84 - 16 \right) = 408$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $10 + 105 + 408 = 523$