조건 만족 함수의 개수

조건 (가)에서 $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) = 2 \left[ 8 - \left\{ f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) \right\} \right]$, $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) \geq 0$이고 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 6 \right)$은 각각 $6$ 이하의 자연수이므로 $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) = 0$ 또는 $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) = 2$ 또는 $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) = 4$ (ⅰ) $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) = 0$인 경우 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $6$ ㉠에서 $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) = 8$이고, $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$ 조건 (나)에서 $f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq f \left( 3 \right)$ 이므로 $f \left( 4 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $6 \times 5 \times 1 = 30$ (ⅱ) $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) = 2$인 경우 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $4$ ㉠에서 $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) = 7$이고, $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $6$ 조건 (나)에서 $f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq f \left( 3 \right) + 2$ $f \left( 4 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 세 수 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 3 \right) + 1$, $f \left( 3 \right) + 2$ 중에서 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} = \mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 6$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $4 \times 6 \times 6 = 144$ (ⅲ) $f \left( 6 \right) - f \left( 3 \right) = 4$인 경우 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 6 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $2$ ㉠에서 $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) = 6$이고, $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $5$ 조건 (나)에서 $f \left( 3 \right) \leq f \left( 4 \right) \leq f \left( 5 \right) \leq f \left( 3 \right) + 4$ $f \left( 4 \right)$, $f \left( 5 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 다섯 수 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 3 \right) + 1$, $f \left( 3 \right) + 2$, $f \left( 3 \right) + 3$, $f \left( 3 \right) + 4$ 중에서 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathit{_{5}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} = \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 15$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $2 \times 5 \times 15 = 150$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $30 + 144 + 150 = 324$